[论文解读] On the relation between optimal transport and Schrödinger bridges: A stochastic control viewpoint

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文通过随机控制方法，建立了最优传输与薛定谔桥之间的深层联系，推导了两类问题的流体动力学形式，并表明当先验为马尔可夫过程时，带有先验的最优传输是薛定谔桥在零噪声极限下的结果。关键贡献在于提出了一套统一的流体动力学框架，揭示了二者内在联系，且无需依赖零噪声极限；在高斯情况下给出了显式解，并通过过阻尼布朗运动模型进行了数值验证。

ABSTRACT

We take a new look at the relation between the optimal transport problem and the Schrödinger bridge problem from the stochastic control perspective. We show that the connections are richer and deeper than described in existing literature. In particular: a) We give an elementary derivation of the Benamou-Brenier fluid dynamics version of the optimal transport problem; b) We provide a new fluid dynamics version of the Schrödinger bridge problem; c) We observe that the latter provides an important connection with optimal transport without zero noise limits; d) We propose and solve a fluid dynamic version of optimal transport with prior; e) We can then view optimal transport with prior as the zero noise limit of Schrödinger bridges when the prior is any Markovian evolution. In particular, we work out the Gaussian case. A numerical example of the latter convergence involving Brownian particles is also provided.

研究动机与目标

• 通过随机控制理论阐明最优传输与薛定谔桥之间的关系。
• 推导薛定谔桥问题的流体动力学形式，揭示其与最优传输的联系，且不依赖于零噪声极限。
• 制定并求解带有先验的最优传输的流体动力学版本，以支持零噪声极限的分析。
• 证明当先验为高斯-马尔可夫过程时，带有先验的最优传输是薛定谔桥在零噪声极限下的结果。
• 通过二维过阻尼布朗粒子系统在不同扩散系数下的数值模拟，提供验证。

提出的方法

• 通过基础的随机控制论证，推导最优传输的本莫-布雷尼尔流体动力学形式。
• 引入基于前向与后向漂移的时对称流体动力学形式，用于薛定谔桥问题。
• 通过求解转移密度的耦合前向-后向福克-普朗克方程，解决薛定谔桥问题。
• 将通用框架应用于高斯-马尔可夫先验情形，推导出漂移与均值演化过程的显式表达式。
• 使用斯莫卢霍夫斯基近似来建模二维数值示例中先验动力学的过阻尼布朗运动。
• 对不同扩散系数水平（ε = 9, 4, 0.01）进行数值模拟，并与带先验和不带先验的最优传输结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从随机控制视角出发，以一种基础方式推导最优传输的本莫-布雷尼尔流体动力学形式？
• RQ2 薛定谔桥问题的时对称流体动力学形式是什么？它如何在不依赖零噪声极限的情况下与最优传输建立联系？
• RQ3 当先验为马尔可夫过程时，带有先验的最优传输如何作为薛定谔桥的零噪声极限出现？
• RQ4 当先验为高斯-马尔可夫过程时，薛定谔桥问题的显式解是什么？
• RQ5 随着噪声强度减小，薛定谔桥的样本路径如何收敛到最优传输的路径？

主要发现

• 通过随机控制以一种基础方式推导出最优传输的本莫-布雷尼尔流体动力学形式，避免了复杂的变分法计算。
• 提出了一种新的时对称流体动力学形式用于薛定谔桥问题，揭示了其与最优传输的直接联系，且无需依赖零噪声极限。
• 推导并求解了带有先验的最优传输的流体动力学形式，使得零噪声极限的研究成为可能。
• 对于高斯-马尔可夫先验，薛定谔桥在零噪声极限下产生带有先验的最优传输，且漂移显式收敛到常数速度场，当 σ² → 0 时成立。
• 在二维数值示例中，随着 ε → 0，薛定谔桥的样本路径收敛到带有先验的最优传输的光滑、恒定速度路径；而当 ε = 0.01 时，路径已与最优传输解高度相似。
• 随着噪声强度减小，桥过程的当前漂移收敛到对应最优传输问题的最优控制，验证了理论预期。