[论文解读] On the Renyi entropy power and the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality on Riemannian manifolds

Songzi Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 6

一句话总结

该论文在非负 Ricci 曲率或 CD(0,m)-条件的黎曼流形上，建立了非线性扩散方程的 Rényi 熵幂的凹性，扩展了 Savaré 和 Toscani 在欧几里得空间中的结果。论文证明了刚性定理，识别出爱因斯坦或拟爱因斯坦流形以及 Hessian 溶剂 Ricci 流为极值模型，并推导出 NIW 公式，揭示了熵幂、Fisher 信息与 W-熵之间的内在联系，从而在这些流形上导出了新的等周不等式与 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式。

ABSTRACT

In this paper, we prove the concavity of the Renyi entropy power for nonlinear diffusion equation (NLDE) associated with the Laplacian and the Witten Laplacian on compact Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature or $CD(0,m)$-condition and on compact manifolds equipped with time dependent metrics and potentials. Our results can be regarded as natural extensions of a result due to Savaré and Toscani \cite{ST} on the concavity of the Renyi entropy for NLDE on Euclidean spaces. Moreover, we prove that the rigidity models for the Renyi entropy power are the Einstein or quasi-Einstein manifolds and a special $(K,m)$-Ricci flow with Hessian solitons. Inspired by Lu-Ni-Vazquez-Villani \cite{LNVV}, we prove the Aronson-Benilan estimates for NLDE on compact Riemannian manifolds with $CD(0,m)$-condition. We also prove the NIW formula which indicates an intrinsic relationship between the second order derivative of the Renyi entropy power $N_p$, the $p$-th Fisher information $I_p$ and the time derivative of the $W$-entropy associated with NLDE. Finally, we prove the entropy isoperimetric inequality for the Renyi entropy power and the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality on complete Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature or $CD(0, m)$-condition and maximal volume growth condition.

研究动机与目标

• 将 Rényi 熵幂的凹性从欧几里得空间推广至具有非负 Ricci 曲率或 CD(0,m)-条件的紧黎曼流形。
• 识别在熵幂不等式中取等号的刚性模型——即爱因斯坦或拟爱因斯坦流形，以及具有 Hessian 溶剂的 (K,m)-Ricci 流。
• 推导 NIW 公式，揭示非线性扩散方程中 Rényi 熵幂的二阶导数、p-阶 Fisher 信息与 W-熵时间导数之间的内在关系。
• 在具有非负 Ricci 曲率与最大体积增长的完备黎曼流形上，建立熵等周不等式与 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式。
• 将 Aronson-Benilan 估计与 W-熵公式推广至具有 CD(0,m)-条件的紧流形上的 Witten 拉普拉斯算子情形。

提出的方法

• 通过熵耗散公式，利用曲率-维数条件 (CD(0,m)) 与 Ricci 曲率下界，证明 Rényi 熵幂的凹性。
• 应用 Γ₂-微积分与 Bakry-Émery 理论，推导 Rényi 熵幂的二阶导数估计。
• 通过将 Rényi 熵幂的二阶导数与 p-阶 Fisher 信息及 W-熵的时间导数关联，建立 NIW 公式。
• 利用 Witten 拉普拉斯算子的 W-熵公式，推导非线性扩散方程的 Aronson-Benilan 型估计。
• 结合最大体积增长与曲率条件，证明熵等周不等式与 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式。
• 利用 Rényi 熵、Fisher 信息与 W-熵之间的联系，推导流形上的精确函数不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，黎曼流形上非线性扩散方程解的 Rényi 熵幂是时间的凹函数？
• RQ2 在 Rényi 熵幂凹性不等式中取等号的刚性模型——即几何结构——是什么？
• RQ3 Rényi 熵幂的二阶导数如何与 p-阶 Fisher 信息及 W-熵的时间导数相关联？
• RQ4 在具有非负 Ricci 曲率与最大体积增长的完备黎曼流形上，熵等周不等式与 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式是否可被推广？
• RQ5 在具有 CD(0,m)-条件的流形上，非线性扩散方程的 Aronson-Benilan 估计的类比形式是什么？

主要发现

• 在具有非负 Ricci 曲率或 CD(0,m)-条件的紧黎曼流形上，非线性扩散方程的 Rényi 熵幂在时间上是凹的。
• 熵幂凹性不等式的刚性模型为爱因斯坦流形、拟爱因斯坦流形，或具有 Hessian 溶剂的 (K,m)-Ricci 流。
• NIW 公式建立了 Rényi 熵幂的二阶导数、p-阶 Fisher 信息与 W-熵时间导数之间的精确关系。
• 熵等周不等式成立：$ N_p(f) I_p(f) \to \text{const} $，其中常数依赖于维度与 Sobolev 常数。
• 在非负 Ricci 曲率与最大体积增长条件下，对所有 $ f \to C_0^\frown(M) $，Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式已得证。
• 在具有 CD(0,m)-条件的紧流形上，已建立 Witten 拉普拉斯算子的 Aronson-Benilan 估计，推广了欧几里得空间中的结果。