[论文解读] On the Representation Theorem of G-Expectations and Paths of G--Brownian Motion

Mingshang Hu, Shigē Péng|ArXiv.org|Apr 29, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文使用基本概率论和Hahn-Banach定理，仅通过初等方法，提供了G-期望表示定理的简化证明，避免了复杂的随机控制方法。证明表明，连续路径空间上的有界连续函数属于Lipschitz柱函数在G-期望下的完备化空间，从而为G-布朗运动和随机微积分奠定了基础。

ABSTRACT

We give a very simple and elementary proof of the existence of a weakly compact family of probability measures $\{P_θ:θ\in Θ\}$ to represent an important sublinear expectation--G-expectation $\mathbb{E}[\cdot]$. We also give a concrete approximation of a bounded continuous function $X(ω)$ by an increasing sequence of cylinder functions $L_{ip}(Ω)$ in order to prove that $C_{b}(Ω)$ belongs to the $\mathbb{E}[|\cdot|]$-completion of the $L_{ip}(Ω)$.

研究动机与目标

• 提供G-期望表示定理的直接、初等证明，不依赖于高级随机控制理论。
• 仅使用基本概率工具，构造一个表示G-期望的弱紧概率测度族。
• 证明空间上连续路径的每个有界连续函数都属于Lipschitz柱函数空间在G-期望下的完备化。
• 建立发展模型不确定性下随机微积分所必需的基础完备性结果。

提出的方法

• 使用Hahn-Banach定理将次线性期望表示为一族线性期望的上确界。
• 通过初等逼近技巧，显式构造一个弱紧的概率测度族{P_θ : θ ∈ Θ}，用以表示G-期望。
• 引入一个具体的Lipschitz柱函数L_ip(Ω)递增序列，用于逼近路径空间Ω上任意有界连续函数X(ω)。
• 在时间网格上使用分段线性插值定义逼近函数ω^(n)(ω)，确保在紧子集上一致收敛。
• 应用G-期望范数控制逼近误差，利用X的紧性和连续性。
• 将逼近误差界与测度论估计相结合，证明在G-期望L^1范数下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用复杂随机控制理论的前提下证明G-期望的表示？
• RQ2 能否仅用初等概率工具直接构造一个表示G-期望的弱紧概率测度族？
• RQ3 空间上连续路径的每个有界连续函数是否都能在G-期望L^1范数下被Lipschitz柱函数逼近？
• RQ4 有界连续函数空间与L_ip(Ω)在G-期望下的完备化空间之间有何关系？
• RQ5 如何在最少的分析假设下建立G-布朗运动框架？

主要发现

• 本文提供了G-期望表示定理的新颖初等证明，仅使用Hahn-Banach定理和基本概率论。
• 显式构造了一个弱紧概率测度族{P_θ : θ ∈ Θ}，将G-期望表示为这些测度下期望的上确界。
• 证明了路径空间上任意有界连续函数X(ω)都属于Lipschitz柱函数空间L_ip(Ω)在G-期望L^1范数下的完备化。
• 通过时间离散化的分段线性插值，显式构造了Lipschitz柱函数的递增序列来逼近X(ω)。
• 结果表明L_G^1(Ω) = L_c^1且对所有p > 0有L_G^p(Ω) = L_c^p，确立了在G-期望下空间的完备性。
• 该框架基于最小假设，为G-布朗运动及其相关随机微积分提供了直接基础。