[论文解读] On the submetrizability number and $i$-weight of quasi-uniform spaces and paratopological groups

Тарас Банах, Alex Ravsky|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过分析其典型左、右准均匀结构，建立了偏拓扑群与拟均匀空间的次度量化数和 i-权的上界。它解决了 Arhangelskii 于 2002 年提出的问题，证明了每个第一可数的 Hausdorff 偏拓扑群都是次度量化的，同时构造出一个具有可数伪特征但不是次度量化的零维、正则、Hausdorff、阿贝尔偏拓扑群，从而证明了这些上界的紧致性。

ABSTRACT

We derive many upper bounds on the submetrizability number and $i$-weight of paratopological groups and topological monoids with open shifts. In particular, we prove that each first countable Hausdorff paratopological group is submetrizable thus answering a problem of Arhangelskii posed in 2002. Also we construct an example of a zero-dimensional (and hence regular) Hausdorff paratopological abelian group $G$ with countable pseudocharacter which is not submetrizable. In fact, all results on the $i$-weight and submetrizability are derived from more general results concerning normally quasi-uniformizable and bi-quasi-uniformizable spaces.

研究动机与目标

• 解决 Arhangelskii 2002 年提出的开放问题：每个第一可数的 Hausdorff 偏拓扑群是否都存在一个更弱的度量拓扑。
• 推导出具有开平移的偏拓扑群与拓扑幺半群的次度量化数和 i-权的上界。
• 研究拟 Roelcke 均匀结构的伪特征作为次度量化关键条件。
• 构造反例，表明即使在正则、零维情形下，可数伪特征也不蕴含次度量化。
• 将关于通常准均匀化与双准均匀化空间的结果推广，以导出 i-权与次度量化数的基数界。

提出的方法

• 分析偏拓扑群 G 上的拟 Roelcke 均匀结构 Q，其由邻域系 {(x,y) : y ∈ UxU⁻¹ ∩ U⁻¹xU} 定义，其中 U 是单位元的开邻域。
• 利用 G 上的左、右准均匀结构 L 和 R，推导出伪特征 ψ(Q) 的上界，该值控制次度量化性。
• 应用关于通常 ±-次交换准均匀结构的结果，以建立正规性并推导出 i-权的上界。
• 构造一个特定的偏拓扑群 H = ↑Z^κ（有限支集），以证明存在一个伪特征可数但 ψ(Q) 不可数的空间，从而说明次度量化性不能由伪特征可数推出。
• 采用强 σ-离散性与网络论证，证明 H 的次度量化性，并通过 log(κ) 计算其 i-权。
• 利用强 σ-离散的 Tychonoff 空间为零维的性质，构造出正则、零维的反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个第一可数的 Hausdorff 偏拓扑群是否都是次度量化的？
• RQ2 一个偏拓扑群能否具有可数伪特征但不是次度量化的？
• RQ3 在偏拓扑群中，i-权与拟 Roelcke 均匀结构的伪特征之间有何关系？
• RQ4 左、右准均匀结构如何影响偏拓扑群的次度量化性与 i-权？
• RQ5 对于具有有限支集的群 ↑Z^κ，可以计算哪些基数不变量？它们如何与该群的拓扑性质相关？

主要发现

• 每个第一可数的 Hausdorff 偏拓扑群都是次度量化的，解决了 Arhangelskii 于 2002 年提出的问题。
• 存在一个零维、正则、Hausdorff、阿贝尔偏拓扑群 H，其伪特征为可数，但不是次度量化的。
• 对于具有有限支集的群 H = ↑Z^κ，其 i-权满足 iw(H) · ω = log(κ)，其中 κ 为不可数基数。
• 在 H 上的拟 Roelcke 均匀结构 Q 满足 ψ(Q) = κ，而伪特征 ψ(H) = ω，表明即使 ψ(H) 为可数，ψ(Q) 仍可为不可数。
• 在 H 上的左准均匀结构 L 满足 ℓ(L) = dc(H) = κ，表明尽管 H 是强 σ-离散的，其左均匀结构仍不可数生成。
• 子度量化数 sm(H) ≤ ψ(Q) = κ，但 sm(H) < ψ(Q) 是可能的，表明该不等式可以是严格的。