[论文解读] On the transverse scalar curvature of a compact Sasaki manifold

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文将唐纳德森的矩映射框架从凯勒几何推广至Sasaki几何，表明Sasaki度量的横截标量曲率是严格接触微分同胚群作用下的矩映射。研究证明Sasaki度量的空间是一个无穷维对称空间，且常横截标量曲率度量对应于复化群作用下的稳定轨道，从而将凯勒情形的图像推广至Sasaki流形。

ABSTRACT

We show that the standard picture regarding the notion of stability of constant scalar curvature metrics in Kähler geometry described by S.K. Donaldson, which involves the geometry of infinite-dimensional groups and spaces, can be applied to the constant scalar curvature metrics in Sasaki geometry with only few modification. We prove that the space of Sasaki metrics is an infinite dimensional symmetric space and that the transverse scalar curvature of a Sasaki metric is a moment map of the strict contactomophism group.

研究动机与目标

• 将凯勒几何中的无穷维几何框架——特别是唐纳德森的矩映射图像——推广至常标量曲率度量的情形，适用于Sasaki几何。
• 证明Sasaki度量的空间是一个无穷维对称空间，类似于凯勒情形。
• 证明Sasaki度量的横截标量曲率是严格接触微分同胚群在横截凯勒结构空间上的作用下的矩映射。
• 通过测地线射线和K-能量泛函，制定常横截标量曲率Sasaki度量存在的稳定性准则。
• 将几何不变量理论中的希尔伯特稳定性判别准则推广至Sasaki情形。

提出的方法

• 将Sasaki度量的空间定义为严格接触微分同胚群的对偶，类似于凯勒情形。
• 利用顾安张的测地方程与正则性结果，证明Sasaki度量的空间具有非正曲率，并构成一个无穷维对称空间。
• 将横截标量曲率识别为严格接触微分同胚群在横截凯勒结构空间上的作用下的矩映射。
• 将严格接触微分同胚群的李代数复化，以定义作用于横截凯勒结构空间上的全纯向量场。
• 应用Kempf-Ness定理框架，将群作用下的辛约化与复化群的复商联系起来。
• 在Sasaki度量空间上使用K-能量泛函，证明其沿测地线是凸的，且其临界点恰好对应于常横截标量曲率度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 唐纳德森在凯勒几何中的矩映射框架能否在Sasaki几何中以最小修改方式推广？
• RQ2 Sasaki度量的空间是否如凯勒情形一般，构成一个无穷维对称空间？
• RQ3 Sasaki度量的横截标量曲率是否作为严格接触微分同胚群作用下的矩映射出现？
• RQ4 Sasaki几何中常横截标量曲率度量的稳定性概念如何与测地线射线及K-能量泛函相关联？
• RQ5 几何不变量理论中的希尔伯特稳定性判别准则能否适应Sasaki情形？

主要发现

• Sasaki度量的空间是一个无穷维对称空间，推广了凯勒情形。
• Sasaki度量的横截标量曲率是严格接触微分同胚群在横截凯勒结构空间上的作用下的矩映射。
• 横截标量曲率与其平均值之差是一个等变矩映射，从而支持稳定性解释。
• 常横截标量曲率度量对应于矩映射的零点，这预期对应于复化群作用下的稳定轨道。
• Sasaki度量空间上的K-能量泛函沿测地线是凸的，且其临界点恰好是常横截标量曲率度量。
• 常横截标量曲率度量的存在性等价于不存在K-能量沿其递减的测地线射线，从而提供了一个类似于希尔伯特判别准则的条件。