[论文解读] The Sasaki-Ricci flow and compact Sasakian manifolds of positive transverse holomorphic bisectional curvature

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文为Sasakian流形引入了一类Perelman型W泛函，并证明在Sasaki-Ricci流下，当基本第一Chern类为正时，横截标量曲率与直径保持一致有界。关键结果是：在三维情形，流全局存在且收敛至Sasaki-Ricci孤立子，为在横截全纯双截面曲率正的条件下此类孤立子的存在性提供了证据。

ABSTRACT

We show that Perelman's W-functional can be generalized to Sasaki-Ricci flow. When the basic first Chern class is positive, we prove a uniform bound on the scalar curvature, the diameter and a uniform $C^1$ bound for the transverse Ricci potential along the Sasaki-Ricci flow, which generalizes Perelman's results Kahler-Ricci flow to the Sasakian setting. We also show that the positivity of transverse of holomorphic bisectional curvature is preserved along the flow, using the methods and the results proved by Bando and Mok in Kahler setting. In particular, we show that the Sasaki-Ricci flow would converge to a Sasaki-Ricci soliton if the initial metric has nonnegative transverse holomorphic bisectional curvature.

研究动机与目标

• 将Perelman的W泛函推广至Sasakian几何，并在Sasaki-Ricci流下建立其单调性。
• 证明当紧致Sasakian流形的基本第一Chern类为正时，其横截标量曲率与直径的一致有界性。
• 在三维情形证明Sasaki-Ricci流的长时间存在性并收敛至Sasaki-Ricci孤立子。
• 研究Sasaki-Ricci流下正横截全纯双截面曲率的保持性。
• 为通过Sasaki-Ricci孤立子对具有非负横截双截面曲率的Sasakian流形进行分类提供框架。

提出的方法

• 仅使用基本函数在Sasakian流形上定义横截W泛函，其形式类似于Kähler几何中Perelman的泛函。
• 在拟正则Sasakian流形上建立W泛函沿Sasaki-Ricci流的单调性。
• 在拟正则Sasakian流形上引入横截距离函数，以克服距离函数非基本性的困难。
• 通过拟正则结构的逼近将结果推广至非正则Sasakian流形，利用Rukimbira的结果。
• 利用W泛函的单调性与横截几何估计，证明横截标量曲率与直径的一致有界性。
• 应用椭圆正则性与De Giorgi-Nash理论，证明W泛函极小化子光滑且正定，从而保证流的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Sasakian流形上是否存在一类Perelman型W泛函，且其沿Sasaki-Ricci流保持单调性？
• RQ2 当基本第一Chern类为正时，Sasaki-Ricci流下横截标量曲率与直径是否保持一致有界？
• RQ3 在横截全息双截面曲率为正的条件下，Sasaki-Ricci流在三维情形是否收敛至Sasaki-Ricci孤立子？
• RQ4 Sasaki-Ricci流下横截全息双截面曲率的正性是否被保持？
• RQ5 具有非负横截双截面曲率的Sasaki-Ricci孤立子的分类是什么？其与Sasakian流形几何的关系如何？

主要发现

• 在拟正则Sasakian流形上，W泛函沿Sasaki-Ricci流保持单调性，将Perelman框架成功推广至Sasakian几何设定。
• 对于基本第一Chern类为正的紧致Sasakian流形，Sasaki-Ricci流下横截标量曲率与直径保持一致有界。
• Sasaki-Ricci流在所有正时间存在，并在三维情形收敛至Sasaki-Ricci孤立子。
• 横截全息双截面曲率的正性在Sasaki-Ricci流下被保持，意味着曲率张量有界。
• W泛函的极小化子光滑且正定，从而保证流的正则性，并支持其收敛至孤立子。
• 对具有非负横截双截面曲率的Sasaki-Ricci孤立子的分类，将导致对具有此类曲率的Sasakian流形的分类，其类比于Kähler几何中的Frankel猜想。