[论文解读] On the value-distribution of symmetric power L-functions

Kohji Matsumoto, Yumiko Umegaki|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文建立了对自守L-函数的对称幂L-函数值分布的极限定理，将Bohr-Jessen框架扩展至自守L-函数。证明了在临界带内的竖直线段上，log L(s, sym^k f) 的分布收敛于具有连续密度函数的极限概率测度，方法基于Sato-Tate等分布律与环面上的调和分析。

ABSTRACT

We first briefly survey the value-distribution theory of L-functions of the Bohr-Jessen flavor (or the theory of "M-functions"). Limit formulas for the Riemann zeta-function, Dirichlet L-functions, automorphic L-functions etc. are discussed. Then we prove new results on the value-distribution of symmetric power L-functions, which are limit formulas involving associated M-functions.

研究动机与目标

• 将Bohr-Jessen值分布理论推广至全纯尖点形式的对称幂L-函数。
• 建立临界带内竖直线段上 log L(σ + it, sym^k f) 分布的极限公式。
• 将相关的M-函数构造为归一化分布测度的弱极限。
• 证明极限密度函数是连续的，并通过环面上的调和分析显式刻画。
• 利用Sato-Tate等分布律证明满足特定三角条件的素数集合具有正密度。

提出的方法

• 通过Euler积构造对数L-函数的有限截断，改编经典Bohr-Jessen方法。
• 利用L-函数局部因子的幅角，在N维环面T^N上定义多变量映射S_N。
• 利用傅里叶系数的Sato-Tate等分布律控制角度θ_f(p)模1的分布。
• 应用Jessen-Wintner不等式与平面曲线和的几何分析，推导测度收敛。
• 采用Weyl等分布准则与三角和估计，分析满足 |sin((γ+1)θ_f(p))| ≥ η 的集合的测度。
• 结合Sato-Tate猜想（由Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor证明）与显式积分估计，证明相关素数集合的正密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bohr-Jessen极限定理能否推广至全纯尖点形式的对称幂L-函数？
• RQ2 当σ > 1/2时，log L(σ + it, sym^k f) 在竖直线段上的极限分布为何？
• RQ3 相关的M-函数是否作为归一化分布测度的弱极限存在？
• RQ4 对称幂L-函数的极限密度函数具有何种结构？
• RQ5 Sato-Tate角度的等分布如何影响对称幂L-函数的值分布？

主要发现

• 极限测度W_σ(R; L)存在，且等于在矩形R上对连续非负密度函数F_σ(z; L)的积分。
• 极限密度函数F_σ(z; L)通过环面上的调和分析显式构造，且在C上连续。
• 满足 |sin((γ+1)θ_f(p))| ≥ η 的素数集合具有正密度，具体为渐近密度1 − 2ξ/π > 0。
• 集合{p : θ_f(p) ∈ I_ℓ}的密度为1 − 2ξ/π + O((log x)^{-1/8 + ε})，证实了奇数与偶数γ下均具有正密度。
• 通过概率测度的弱收敛，确立了log L(σ + it, sym^k f) 分布向M-函数的收敛性。
• 证明依赖于傅里叶系数的Sato-Tate等分布律与三角和估计，以控制角度区间的测度。