[论文解读] On the weights of mod $p$ Hilbert modular forms

Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过使用模提升定理和 $p$-进霍奇理论，证明了Buzzard、Diamond与Jarvis关于模 $p$ 黑尔伯特模形式可能权的猜想中的关键情形。在 $p \geq 5$ 且 $\overline{\rho}$ 在 $F(\zeta_p)$ 上不可约的条件下，本文确立了：对于正则权，一个模 $p$ 黑尔伯特模形式来自一个表示当且仅当其权属于猜想中的集合 $W(\overline{\rho})$。该结果将塞尔的模性猜想推广到了全实数域的权方面。

ABSTRACT

We prove many cases of a conjecture of Buzzard, Diamond and Jarvis on the possible weights of mod $p$ Hilbert modular forms, by making use of modularity lifting theorems and computations in $p$-adic Hodge theory.

研究动机与目标

• 在全实数域的背景下，证明Buzzard、Diamond与Jarvis关于模 $p$ 黑尔伯特模形式可能权的猜想。
• 通过确定给定模 $p$ 伽罗瓦表示 $\overline{\rho}$ 的正确权集合 $W(\overline{\rho})$，将塞尔的模性猜想推广至黑尔伯特模形式。
• 通过 $p$-进霍奇理论与形变理论，建立模 $p$ 黑尔伯特模形式的权与局部伽罗瓦表示 $\overline{\rho}$ 之间的精确对应关系。
• 在正则与非典型情形下，以及在部分典型情形下附加提升假设时，解决猜想的权部分。

提出的方法

• 使用Kisin与Gee的模提升定理，证明具有指定局部形变类型的伽罗瓦表示的模性。
• 通过布雷乌尔模与强可除模，应用 $p$-进霍奇理论与有限平坦李群概形理论，分析在 $p$ 上方各素点处的局部伽罗瓦表示。
• 在每个满足 $v|p$ 的点 $v$ 上，通过组合相容条件，构造 $\overline{\rho}|_{G_{F_v}}$ 的指定类型 $\tau_{\vec{a},\vec{b},J}$ 的潜在巴尔萨蒂-泰特形变。
• 依赖于通过 Hodge-Tate 权与弗罗贝尼乌斯作用定义的子集 $J \subset \Sigma_v$，建立表示与权之间的相容性概念。
• 通过将形变类型与在定 definite 四元数代数上的自守形式关联，使用算术惯例而非几何惯例，应用 $R = T$ 定理。
• 利用 $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_F/p)$ 的不可约表示 $\sigma_{\vec{a},\vec{b}}$ 在 $p$ 上方各点上的张量积结构，并通过局部朗兰兹型条件分析其与 $\overline{\rho}$ 的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些权 $\sigma$ 可以作为与给定模 $p$ 伽罗瓦表示 $\overline{\rho}$ 关联的黑尔伯特模形式的模 $p$ 约化？
• RQ2 如何通过局部伽罗瓦表示类型与 $p$-进霍奇理论，刻画可能权集合 $W(\overline{\rho})$？
• RQ3 当 $\overline{\rho}$ 是权 $\sigma$ 的模形式时，正则权 $\sigma$ 在什么条件下属于 $W(\overline{\rho})$？
• RQ4 能否通过形变理论方法验证Buzzard、Diamond与Jarvis的猜想在非典型与部分典型权情形下的成立？
• RQ5 条件 $\overline{\rho}|_{G_{F(\zeta_p)}}$ 不可约在确保模提升结果适用中起什么作用？

主要发现

• 若 $\overline{\rho}$ 是正则权 $\sigma$ 的模形式，则 $\sigma \in W(\overline{\rho})$，这在正则情形下确认了猜想的一个方向。
• 反之，若 $\sigma \in W(\overline{\rho})$ 为正则且非典型，则 $\overline{\rho}$ 是权 $\sigma$ 的模形式，从而在该情形下建立了完整的对应关系。
• 对于类型为 $I$ 的部分典型权 $\sigma$，若 $\overline{\rho}$ 允许类型为 $I$ 的部分典型模提升，则 $\overline{\rho}$ 是权 $\sigma$ 的模形式，从而将结果推广至该情形。
• 证明依赖于在每个满足 $v|p$ 的点上，通过局部分析（利用布雷乌尔模与有限平坦李群概形）构造指定类型 $\tau_{\vec{a},\vec{b},J}$ 的潜在巴尔萨蒂-泰特形变。
• $\sigma^{v}_{\vec{a},\vec{b}}$ 与 $\overline{\rho}|_{G_{F_v}}$ 通过子集 $J$ 的相容性至关重要，且该相容性通过详细分析 Hodge-Tate 权与弗罗贝尼乌斯作用得以建立。
• 结果依赖于 $p \geq 5$、$\overline{\rho}$ 是模形式，且 $\overline{\rho}|_{G_{F(\zeta_p)}}$ 不可约的条件，其中后两个假设对应用 $R = T$ 定理至关重要。