[论文解读] On time inhomogeneous stochastic Itô equations with drift in $L_{d+1}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文通过受 A.V. Skorokhod 启发的方法，证明了在扩散系数一致非退化、有界，且漂移项属于 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ 的条件下，时间非齐次 Itô 随机微分方程弱解的存在性。关键贡献在于，在漂移项满足临界可积性条件时证明了可解性，该结果扩展了先前的研究，据信是首个针对此类时间非齐次情形下 $L_{d+1}$ 漂移条件的类似结果。

ABSTRACT

We prove the solvability of Itô stochastic equations with uniformly nondegenerate, bounded, measurable diffusion and drift in $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$. Actually, the powers of summability of the drift in $x$ and $t$ could be different. Our results seem to be new even if the diffusion is constant. The method of proving the solvability belongs to A.V. Skorokhod. Weak uniqueness of solutions is an open problem even if the diffusion is constant.

研究动机与目标

• 建立时间非齐次 Itô 随机微分方程在漂移项属于 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ 条件下的可解性。
• 通过允许漂移项属于 $L_{d+1}$，即临界可积性阈值，扩展现有关于不规则漂移 SDE 的结果。
• 证明对应于此类方程的强马尔可夫过程的存在性，其扩散系数有界可测，且漂移项属于 $L_{d+1}$。
• 解决在不同于经典 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1$ 条件下 SDE 的可解性问题，允许时间与空间方向具有不同的可积性指数。

提出的方法

• 采用受 A.V. Skorokhod 启发的方法，证明 SDE 弱解的存在性。
• 运用针对半鞅分布的新混合范数估计，其方法源自 A.I. Nazarov 基于 PDE 的工作。
• 应用马尔可夫系统与拟紧集理论，从解构造强马尔可夫过程。
• 依赖于 SDE 解的存在性（定理 3.1）作为构造马尔可夫过程的基础。
• 利用 $B$-系统定义与测度收敛性，验证所构造过程的马尔可夫性质。
• 通过生成元 $L$ 的鞅问题公式化方法，表征马尔可夫过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移项属于 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ 时，时间非齐次 Itô SDE 是否可能存在弱解？
• RQ2 当扩散系数为常数且漂移项仅属于 $L_{d+1}$ 时，可解性结果是否仍然成立？
• RQ3 当 $p=q=d+1$ 时，条件 $\frac{d}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ 是否足以保证可解性，即使 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} > 1$？
• RQ4 对于具有 $L_{d+1}$ 漂移项与有界可测扩散系数的 SDE，能否构造强马尔可夫过程？
• RQ5 在这些条件下，解的弱唯一性是否得到保证，还是仍为开放问题？

主要发现

• 本文证明了在漂移项 $b$ 属于 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ 的条件下，SDE (1.2) 弱解的存在性，即使扩散系数为常数亦成立。
• 可解性结果通过根植于 A.V. Skorokhod 方法的途径建立，结合了半鞅分布的混合范数估计。
• 定理 6.1 证明了当 $\sigma$ 有界可测且 $b \in L_{d+1}$ 时，对应 SDE 的强马尔可夫过程的存在性。
• 即使位于经典 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1$ 范围之外，条件 $\frac{d}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ 且 $p=q=d+1$ 也被证明是可解性的充分条件。
• 弱唯一性仍为开放问题，即使在扩散系数为常数时亦然。
• 该方法避免了对 Hölder 连续性或 Harnack 型估计的要求，转而关注在最小可积性条件下解的存在性与马尔可夫性质。