[论文解读] On Ulam type stability for nonlinear implicit fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过逐次逼近法，建立了非线性隐式分数阶微分方程解的存在性、唯一性以及四种类型的Ulam型稳定性（Hyers-Ulam、广义Ulam-Hyers、$E_{\alpha}$-Ulam-Hyers 和 $E_{\alpha}$-Ulam-Hyers-Rassias）的结论。关键贡献在于在较弱的Lipschitz型条件下，利用积分不等式和Mittag-Leffler函数证明了稳定性，通过一个具体例子（$\alpha = \frac{5}{2}$，定义在$[1,e]$上）进行了验证。

ABSTRACT

In present paper, we establish sufficient conditions for existence and stability of solutions for system of nonlinear implicit fractional differential equations. The main techniques are based on method of successive approximations. Finally, an illustrative example is given to show the applicability of our theoretical results.

研究动机与目标

• 建立非线性隐式分数阶微分方程系统（具有Caputo-Hadamard导数）解的存在性与唯一性的充分条件。
• 研究此类方程的四种不同类型的Ulam型稳定性——Hyers-Ulam、广义Ulam-Hyers、$E_{\alpha}$-Ulam-Hyers 和 $E_{\alpha}$-Ulam-Hyers-Rassias。
• 将逐次逼近法作为核心分析工具，推导稳定性结果。
• 通过一个具体实例验证理论结果，展示所提稳定性准则的适用性。

提出的方法

• 利用逐次逼近法构造一个函数序列，使其收敛于隐式分数阶微分方程的解。
• 采用阶数为 $\alpha \in (m-1, m]$ 的Caputo-Hadamard导数，其定义基于对数核及算子 $\delta^n = (t\frac{d}{dt})^n$。
• 应用涉及Mittag-Leffler函数 $E_{\alpha}(z)$ 的积分不等式，以界定解之间的差异并建立稳定性界。
• 通过 $E_{\alpha}$-函数与参数 $\theta = \frac{M}{1-N}$（其中 $M$ 和 $N$ 为Lipschitz常数）推导稳定性估计。
• 引入权函数 $\Phi(t) = C E_{\alpha}((\log t)^\alpha)$，以分析具有可变界条件的 $E_{\alpha}$-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。
• 利用Hadamard分数阶积分及其性质，将微分方程转化为等价的积分形式以进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有Caputo-Hadamard导数的非线性隐式分数阶微分方程系统解存在且唯一？
• RQ2 能否通过逐次逼近法而非不动点定理，建立此类方程的Ulam型稳定性？
• RQ3 四种Ulam型稳定性——Hyers-Ulam、广义型、$E_{\alpha}$-Ulam-Hyers 和 $E_{\alpha}$-Ulam-Hyers-Rassias——如何应用于隐式分数阶方程？
• RQ4 在每种稳定性类型下，近似解与精确解之间的近似误差具有何种定量界？
• RQ5 权函数 $\Phi(t)$ 的选择如何影响 $E_{\alpha}$-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性条件？

主要发现

• 在 $[1,e]$ 上，当 $\alpha = \frac{5}{2}$ 时，问题 (33) 由于满足Lipschitz条件（$M = \log(2+e) > 0$，$N = \frac{1}{e^2} < 1$），具有唯一解。
• 该问题具有Hyers-Ulam稳定性，其界为 $||y(t) - x(t)|| \leq \left(\frac{E_{\frac{5}{2}}(\theta) - 1}{\theta}\right)\epsilon$，其中 $\theta = \frac{e^2 \log(2+e)}{e^2 - 1} \approx 0.779$。
• 该问题具有广义Ulam-Hyers稳定性，因为 $\psi(0) = 0$，其中 $\psi(\epsilon) = \frac{E_{\frac{5}{2}}(\theta) - 1}{\theta}\epsilon$。
• 该问题具有 $E_{\frac{5}{2}}$-Ulam-Hyers稳定性，其界为 $||y(t) - x(t)|| \leq \frac{1}{\theta} E_{\frac{5}{2}}(\theta)$，且与 $\epsilon$ 无关。
• 在条件 $||\mathfrak{D}_{1}^{\frac{5}{2}}y(t) - f(t,y(t),\mathfrak{D}_{1}^{\frac{5}{2}}y(t))|| \leq \epsilon \Phi(t)$ 下，该问题具有 $E_{\frac{5}{2}}$-Ulam-Hyers-Rassias稳定性，其中 $\Phi(t) = C E_{\frac{5}{2}}((\log t)^{\frac{5}{2}})$，并得到 $||y(t) - x(t)|| \leq \epsilon \frac{1}{1 - \theta} \Phi(t)$。
• 该问题具有广义 $E_{\frac{5}{2}}$-Ulam-Hyers-Rassias稳定性，如引理3所确认，其界为 $||y(t) - x(t)|| \leq \epsilon \frac{2}{1 - \theta} \Phi(t) E_{\frac{5}{2}}((\log t)^{\frac{5}{2}})$。