[论文解读] On uniformization of compact Kahler spaces

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文为具有轻微奇点的紧致凯勒空间建立了统一化定理，表明其万有覆叠是斯坦因流形，并允许广义伯格曼度量。在基本群为大、剩余有限且非阿们的假设下，若奇点为有理奇点，则万有覆叠具有刚性，即拓扑等价性诱导全纯同构，将统一化结果推广至奇异凯勒空间。

ABSTRACT

The aim of the note is to extend the uniformization theorem to compact Kahler spaces X with mild singularities and establish a kind of rigidity of their universal coverings. We assume the fundamental group of X is large, residually finite and nonamenable.

研究动机与目标

• 将非奇异射影流形的统一化定理推广至具有轻微奇点的紧致凯勒空间。
• 在 canonical bundle 幅射的假设下，证明此类空间的万有覆叠是斯坦因流形。
• 在拓扑等价性下证明万有覆叠的刚性，表明仅从拓扑数据即可确定全纯结构。
• 推广在非阿美因基本群存在时有界调和函数与全纯调和函数的应用。
• 通过 Moishezon 定理证明具有有理奇点和大基本群的紧致凯勒空间是射影的。

提出的方法

• 通过将全纯嵌入到无穷维 Fubini 空间 $\mathbb{F}_{\mathbb{C}}(\infty,1)$ 中，使用广义伯格曼度量。
• 应用 Grauert 对 Kodaira 定理的推广，证明当 $\eusm K_X^{-1}$ 为弱负时，canonical bundle $\eusm K_X$ 的幅射性。
• 利用万有覆叠上的有界调和函数构造 $\Gamma$-不变的 Hermitian 度量于 $\eusm K_X^{-1}$ 上。
• 应用有限伽罗瓦覆叠基本域之间的调和映射的变分 Dirichlet 问题。
• 通过基本域上调和映射诱导的全纯调和映射，建立万有覆叠之间的映射。
• 利用 Dirichlet 问题解的唯一性，得出万有覆叠之间的全纯同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将非奇异射影流形的统一化结果推广至具有有理奇点的紧致凯勒空间？
• RQ2 在基本群为大、剩余有限且非阿美的假设下，紧致凯勒空间的万有覆叠在何种条件下为斯坦因流形？
• RQ3 对于具有轻微奇点的紧致凯勒空间，其拓扑等价性在多大程度上诱导其万有覆叠之间的全纯等价性？
• RQ4 如何在奇异凯勒空间的万有覆叠上构造广义伯格曼度量？
• RQ5 有界调和函数与全纯调和映射在建立万有覆叠刚性方面起什么作用？

主要发现

• 具有有理奇点和幅射 canonical bundle 的紧致凯勒空间 $X$ 的万有覆叠 $U_X$ 是斯坦因流形。
• 在给定假设下，$X$ 是 Moishezon 空间，因此是射影空间，这是 Namikawa 对 Moishezon 定理的推广。
• 万有覆叠 $U_X$ 通过嵌入到 Fubini 空间 $\mathbb{F}_{\mathbb{C}}(\infty,1)$ 中，允许广义伯格曼度量。
• 两个此类空间 $X$ 与 $Z$ 之间的拓扑等价性诱导其万有覆叠 $U_X$ 与 $U_Z$ 之间的全纯同构，从而证明了刚性。
• 刚性通过有限伽罗瓦覆叠基本域之间的调和与全纯调和映射建立，Dirichlet 问题解的唯一性确保了全纯同构。
• 由于在大 $q$ 下，$\eusm K_X^q$ 在有限伽罗瓦覆叠上为非常幅射，因此 $U_X$ 上存在 $\Gamma$-不变的广义伯格曼度量。