[论文解读] On uniformization of N=2 superconformal and N=1 superanalytic DeWitt super-Riemann surfaces

Katrina Barron|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用 3

一句话总结

本文建立了 N=2 超共形与 N=1 超解析 DeWitt 超黎曼面的统一化定理，证明此类超黎曼面同构于环层空间超流形（即过渡函数中不含偶变量的奇函数）当且仅当某个特定的一阶 Čech 上同调群为零。关键结果通过全纯线丛与 theta 函数对这些超黎曼面进行分类，特别表明：亏格零的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面构成可数无穷族，而单连通的情形则由其基底上的全纯线丛的共形等价类所分类。

ABSTRACT

We prove a general uniformization theorem for N=2 superconformal and N=1 superanalytic DeWitt super-Riemann surfaces, showing that in general an N=2 superconformal (resp. N=1 superanalytic) DeWitt super-Riemann surface is N=2 superconformally (resp., N=1 superanalytically) equivalent to a manifold with transition functions containing no odd functions of the even variable if and only if a certain cohomology group is trivial, namely the first Cech cohomology group of the body Riemann surface with coefficients in the sheaf consisting of the reciprocal of a line bundle tensor the holomorphic vector fields over the body. In particular, this gives a general criteria for when a DeWitt N=1 superanalytic super-Riemann surface is N=1 superanalytically equivalent to a ringed-space (1,1)-supermanifold, as studied in the algebro-geometric setting. This general classification result implies there is a countably infinite family of N=2 superconformal equivalence classes of N=2 superconformal DeWitt super-Riemann surfaces with genus-zero compact body, and N=2 superconformal DeWitt super-Riemann surfaces with simply connected body are classified up to N=2 superconformal equivalence by conformal equivalence classes of holomorphic line bundles over the underlying body Riemann surface. In addition, N=2 superconformal DeWitt super-Riemann surfaces with compact genus-one body and transition functions which correspond to the trivial cocycle in the first Cech cohomology group of the body Riemann surface with coefficients in the reciprocal of a line bundle tensor the sheaf of holomorphic vector fields over the body are classified up to N=2 superconformal equivalence by holomorphic line bundles over the torus modulo conformal equivalence. The corresponding results for the uniformization of N=1 superanalytic DeWitt super-Riemann surfaces of genus zero or one are presented.

研究动机与目标

• 建立 N=2 超共形与 N=1 超解析 DeWitt 超黎曼面的一般统一化定理。
• 确定此类超黎曼面同构于环层空间超流形（即过渡函数中不含偶变量的奇函数）的条件。
• 通过全纯线丛与 theta 函数，对具有紧致亏格零或亏格一基底的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面进行分类。
• 将分类结果扩展至 N=1 超解析超黎曼面，尤其关注亏格零与一的情形。
• 提供此类统一化的上同调准则，通过层上同调将超共形几何与代数几何联系起来。

提出的方法

• 本文采用 DeWitt 超流形方法，允许包含偶变量奇函数的一般过渡函数，以建模超共形场论的世界面。
• 使用 Čech 上同调群 $\check{H}^1(M_B, \mathcal{L}^{-1} \otimes TM_B)$ 作为核心上同调不变量，其中 $M_B$ 为基底黎曼面，$\mathcal{L}$ 为 $M_B$ 上的全纯线丛。
• 通过在齐次坐标设定下分析三重重叠的一致性条件，使上同调依赖关系变得清晰，从而推导出主要结果。
• 证明了具有亏格零基底的 N=2 超共形超黎曼面的分类为可数无穷族，由 $\mathbb{P}^1$ 上的全纯线丛参数化。
• 对于亏格一基底，分类由 theta 函数模平凡者给出，或等价地，由全纯线丛模共形等价类给出。
• 本文还利用 [DRS] 中建立的 N=2 到 N=1 等价性，将结果推广至 N=1 超解析超黎曼面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种上同调条件下，N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面与环层空间超流形 N=2 超共形等价？
• RQ2 具有紧致亏格零基底的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面在等价关系下如何分类？
• RQ3 具有单连通基底的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面如何分类？
• RQ4 具有紧致亏格一基底且 Čech 范畴为平凡的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面如何分类？
• RQ5 N=1 超解析 DeWitt 超黎曼面在亏格零与一的情形下，其对应分类为何？

主要发现

• N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面 N=2 超共形等价于环层空间超流形当且仅当 $\check{H}^1(M_B, \mathcal{L}^{-1} \otimes TM_B) = 0$。
• 存在一个可数无穷族的 N=2 超共形等价类，对应于具有紧致亏格零基底的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面。
• 具有单连通基底的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面，其在 N=2 超共形等价下的分类由基底黎曼面上全纯线丛的共形等价类决定。
• 具有紧致亏格一基底且 Čech 范畴为平凡的 N=2 超共形 DeWitt 超黎曼面，其分类由 theta 函数模平凡者给出，或等价地，由环面上的全纯线丛模共形等价类给出。
• 对于亏格零的 N=1 超共形 DeWitt 超黎曼面，分类依赖于自旋结构：平凡自旋结构由 $b_S \in (\bigwedge_{*-1}^0)_S$ 与 $\delta \in \bigwedge_{*-1}^1 / \langle \pm 1 \rangle$ 参数化；非平凡自旋结构则对每个 $b \in \bigwedge_{*-1}^0$ 满足 $b_B = \tau$ 给出一个等价类。
• 对于亏格一的 N=1 超共形 DeWitt 超黎曼面，模空间由环面上的全纯 $GL(1)$-丛决定，其分类通过 $\mathfrak{u}(1)$ 仿射李代数在基底流形上的指数化实现。