[论文解读] On vector-valued twisted conjugate invariant functions on a group

Liang Xiao, Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文研究代数闭域 k 上连通半单代数群 G 上的向量值扭曲共轭不变函数，证明在良好滤子条件之下，此类函数空间在特征函数环上为有限自由模。关键结果计算了 J(V) 与 J(V*) 之间自然配对的行列式，其表达式为根系上的乘积，涉及权重重数与特征函数，将 Kostant 的经典结果推广至扭曲群情形，并通过 Satake 同构应用于自守形式与希米拉变体。

ABSTRACT

We study the space of vector-valued (twisted) conjugate invariant functions on a connected reductive group.

研究动机与目标

• 将 Kostant 关于不变多项式定理推广至半单群上向量值共轭不变函数的情形。
• 通过群自同构推广理论至扭曲共轭作用，动机源于模 p 纤维的希米拉变体的应用。
• 利用几何与表示论方法，构造权重重数生成函数的多变量类比。
• 以根系数据与权重重数为工具，计算 J(V) 与 J(V*) 之间自然配对的行列式。

提出的方法

• 利用旗流形的几何与几何 Satake 对应，对表示引入多滤子结构。
• 应用 Rees 构造于滤子向量空间，研究相伴的梯度模的平坦性与自由性。
• 通过 G 的自同构 τ 定义扭曲共轭不变函数，推广标准共轭作用。
• 利用 Vinberg 半群与渐近锥分析群作用的退化行为。
• 在 G-代数与权重饱和子集的背景下，运用良好滤子与不变量理论。
• 应用 Grosshans 子群与不变量理论的结果，证明不变环上模的有限生成性与自由性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，V-值扭曲共轭不变函数模在特征函数环上为有限自由模？
• RQ2 J(V) 与 J(V*) 之间自然配对的行列式如何依赖于根系与 V 的权重重数？
• RQ3 能否利用几何或表示论方法，为权重空间构造 Kostant–Brylinski 滤子的多变量类比？
• RQ4 配对 J(V) × J(V*) → J 的精确代数表达式如何以根字符与权重重数表示？
• RQ5 这些结果如何推广至对称对或量子群的情形？

主要发现

• 当 V 具有良好滤子时，V-值扭曲共轭不变函数空间 J(V) 在 J 上为有限自由模，其秩等于 V 的零权空间维数 dim V(0)。
• 当 char k = 0 时，存在由 V(0) 的基诱导的 J(V)、J+(V) 与 J0(V) 的自然基，推广了 Kostant 的调和多项式基。
• 配对 J(V) × J(V*) → J 的行列式为 c · ∏_{α∈Φ(G,T)} (e_α − 1)^ζ_α，其中 c 为非零常数，ζ_α = ∑_{n≥1} dim V(nα)。
• J(V) 在 J 上的自由性由 Chevalley 映射的平坦性推出，而该平坦性由主结果导出，从而为 Richardson 与 Donkin 定理提供了新证明。
• 结果推广至 G 的自同构 τ 所定义的 τ-扭曲共轭情形，通过 Satake 同构应用于希米拉变体模 p 纤维的交矩阵。
• 对于具有合成因子属于饱和集 π 的子模 O_π(M)，其在不变环 C = AG 上为有限生成模，推广了良好滤子与不变量理论的结果。