[论文解读] On Welfare Approximation and Stable Pricing

Michal Feldman, Nick Gravin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2015

Auction Theory and Applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文研究了在不可分割物品与策略性买方的组合市场中，项目定价在近似社会福利方面的极限。结果表明，即使对于两个次模买方，稳定的项目价格也无法保证优于 Ω(√m) 的福利近似，这意味着对于次模和单一需求估值，通过福利基准进行收益近似的方法是失败的。

ABSTRACT

We study the power of item-pricing as a tool for approximately optimizing social welfare in a combinatorial market. We consider markets with $m$ indivisible items and $n$ buyers. The goal is to set prices to the items so that, when agents purchase their most demanded sets simultaneously, no conflicts arise and the obtained allocation has nearly optimal welfare. For gross substitutes valuations, it is well known that it is possible to achieve optimal welfare in this manner. We ask: can one achieve approximately efficient outcomes for valuations beyond gross substitutes? We show that even for submodular valuations, and even with only two buyers, one cannot guarantee an approximation better than $Ω(\sqrt{m})$. The same lower bound holds for the class of single-minded buyers as well. Beyond the negative results on welfare approximation, our results have daunting implications on revenue approximation for these valuation classes: in order to obtain good approximation to the collected revenue, one would necessarily need to abandon the common approach of comparing the revenue to the optimal welfare; a fundamentally new approach would be required.

研究动机与目标

• 确定稳定项目定价是否能在超出广义替代估值之外实现常数因子的福利近似。
• 研究次模或单一需求估值是否允许通过项目价格实现高效的福利近似。
• 考察福利近似效果差对组合市场中收益近似的影响。
• 探索次模估值的结构性子类（例如预算加法）是否能通过稳定定价实现常数近似保证。
• 理解物品不可分性与互补性在限制定价机制能力方面所起的作用。

提出的方法

• 构建一个包含 n 个单一需求买方和 m = n(n−1)/2 个物品的组合拍卖实例，其中每个买方希望获得大小为 n−1 的特定物品集合。
• 通过物品价格的计数论证表明，若最优分配（分配给买方 n）得以支持，则必有其他买方也需求一个集合，从而违反稳定性。
• 证明任何稳定的定价均衡最多只能分配一个高价值集合，导致福利至多为 O(√m)。
• 分析配置线性规划及其对偶，表明通过贪婪分配分数解，对单一需求竞标者总能实现 O(√m) 的近似。
• 采用与计算无关的存在性论证，证明任何稳定定价都无法实现优于 Ω(√m) 的福利近似。
• 利用在稳定结果中没有任何买方能获得严格正效用的事实，以确保贪婪分配的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于次模估值，稳定项目定价能否实现最优社会福利的常数因子近似？
• RQ2 在广义替代估值之外，是否存在对无互补性估值的稳定定价在福利近似方面存在根本限制？
• RQ3 当福利近似本身本质上较差时，通过稳定定价在多大程度上可以实现收益近似？
• RQ4 次模估值的子类（例如预算加法）是否能通过稳定定价实现常数因子的福利近似？
• RQ5 对于单一需求竞标者，Ω(√m) 下界能否通过正向构造得到改进或匹配？

主要发现

• 对于两个次模买方，任何稳定定价都无法实现优于 Ω(√m) 的最优社会福利近似。
• 相同的 Ω(√m) 下界对单一需求估值也成立，即使仅有两个买方。
• 该下界是存在性的，而非由计算复杂性导致，意味着无论算法设计如何，任何稳定定价都无法实现优于 Ω(√m) 的福利近似。
• 对于单一需求竞标者，总存在一个稳定结果，其福利近似为 O(√m)，与下界相匹配。
• 该结果意味着，任何依赖最优福利作为基准的收益近似方法都无法推广至次模或单一需求估值。
• 对于两个预算加法买方，通过稳定定价总能实现常数因子的福利近似，提示估值类之间可能存在某种二分性。