[论文解读] One-counter verifiers for decidable languages

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文引入了一类一 counters 验证器——双态概率与量子一 counters 自动机——作为可判定语言的有效交互式证明系统（IPS）验证器，证明了有界误差的量子 counters 自动机能够识别超出概率对应物的语言。它证明了量子 counters 可实现公开硬币（Arthur-Merlin）协议，并提出一种新型编程技术，使 2qcca 能够识别任何有界误差 2pca 无法判定的语言。

ABSTRACT

Condon and Lipton (FOCS 1989) showed that the class of languages having a space-bounded interactive proof system (IPS) is a proper subset of decidable languages, where the verifier is a probabilistic Turing machine. In this paper, we show that if we use architecturally restricted verifiers instead of restricting the working memory, i.e. replacing the working tape(s) with a single counter, we can define some IPS's for each decidable language. Such verifiers are called two-way probabilistic one-counter automata (2pca's). Then, we show that by adding a fixed-size quantum memory to a 2pca, called a two-way one-counter automaton with quantum and classical states (2qcca), the protocol can be space efficient. As a further result, if the 2qcca can use a quantum counter instead of a classical one, then the protocol can even be public, also known as Arthur-Merlin games. We also investigate the computational power of 2pca's and 2qcca's as language recognizers. We show that bounded-error 2pca's can be more powerful than their deterministic counterparts by giving a bounded-error simulation of their nondeterministic counterparts. Then, we present a new programming technique for bounded-error 2qcca's and show that they can recognize a language which seems not to be recognized by any bounded-error 2pca. We also obtain some interesting results for bounded-error 1-pebble quantum finite automata based on this new technique. Lastly, we prove a conjecture posed by Ravikumar (FSTTCS 1992) regarding 1-pebble probabilistic finite automata, i.e. they can recognize some nonstochastic languages with bounded error.

研究动机与目标

• 使用架构受限的验证器（而非空间有界的图灵机）构建所有可判定语言的交互式证明系统（IPS）。
• 研究双态概率一 counters 自动机（2pca）与兼具量子与经典状态的双态一 counters 自动机（2qcca）作为语言识别器的计算能力。
• 证明 Ravikumar 的猜想：1 个石子的概率有限自动机能够以有界误差识别非随机语言。
• 为有界误差 2qcca 开发一种新型编程技术，使其能够识别 2pca 无法判定的语言。

提出的方法

• 在可判定语言的交互式证明系统中使用双态概率一 counters 自动机（2pca）作为验证器，验证器仅使用单个 counters 而非工作带。
• 引入兼具量子与经典状态的双态一 counters 自动机（2qcca），通过引入固定大小的量子寄存器以提升验证效率。
• 利用量子 counters（2qca）将私有硬币协议转换为公开硬币（Arthur-Merlin）协议，使验证器的全部信息向证明者公开。
• 应用超算符与振幅编码技术，将输入子串编码为量子态振幅，通过酉演化与测量实现比较。
• 采用一种新型编程技术，利用具有多个 Kraus 算符的超算符，对 TWIN 语言中的字符串 $u_1$ 与 $u_2$ 进行编码与比较。
• 应用有界误差模拟技术，证明 2pca 可以以有界误差模拟非确定性一 counters 自动机，从而增强其表达能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 一 counters 验证器（2pca）能否用于构建所有可判定语言的交互式证明系统？
• RQ2 向 2pca 添加固定大小的量子寄存器（形成 2qcca）是否能实现可判定语言的空间高效验证？
• RQ3 将经典 counters 替换为量子 counters（2qca）能否将私有硬币协议转换为公开硬币（Arthur-Merlin）协议？
• RQ4 有界误差 2qcca 能否识别 2pca 无法判定的语言？
• RQ5 如 Ravikumar 所猜想，1 个石子的概率有限自动机能否以有界误差识别非随机语言？

主要发现

• 有界误差 2pca 可以模拟双态非确定性一 counters 自动机，证明 2pca 严格强于 2dca。
• 基于 2qcca 的协议以有界误差识别 TWIN 语言：若 $x \in \mathtt{TWIN}$，则接受概率为 1；若 $x \notin \mathtt{TWIN}$，则拒绝概率至少为 $4/5$。
• 2qcca 的新型编程技术使其能够识别一种无法被任何有界误差 2pca 判定的语言，证明其计算能力的提升。
• 使用量子 counters（2qca）的协议变为公开硬币（Arthur-Merlin）协议，意味着证明者完全知晓验证器的状态，这是交互式证明理论中的关键结果。
• 本文证明了 Ravikumar 的猜想：1 个石子的概率有限自动机能够以有界误差识别非随机语言。
• 这些结果是关于双态量子一 counters 自动机（2qca）的首次非平凡发现，此前该领域在该背景下尚未被探索。