[论文解读] Online Convex Covering and Packing Problems

T-H. Hubert Chan, Zhiyi Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种统一的在线凸覆盖与打包框架，用于具有通用凸成本函数的资源分配问题，采用在线对偶技术设计简单算法。对于度数为 τ 的多项式成本函数，该框架在凸覆盖问题中实现了 O(τ log n)^τ-竞争比，在凸打包问题中实现了 O(τ)-竞争比，与已知的下界相匹配。

ABSTRACT

We study the online convex covering problem and online convex packing problem. The (offline) convex covering problem is modeled by the following convex program: $\min_{x \in R_+^n} f(x) \ ext{s.t}\ A x \ge 1$, where $f : R_+^n \mapsto R_+$ is a monotone and convex cost function, and $A$ is an $m imes n$ matrix with non-negative entries. Each row of the constraint matrix $A$ corresponds to a covering constraint. In the online problem, each row of $A$ comes online and the algorithm must maintain a feasible assignment $x$ and may only increase $x$ over time. The (offline) convex packing problem is modeled by the following convex program: $\max_{y\in R_+^m} \sum_{j = 1}^m y_j - g(A^T y)$, where $g : R_+^n \mapsto R_+$ is a monotone and convex cost function. It is the Fenchel dual program of convex covering when $g$ is the convex conjugate of $f$. In the online problem, each variable $y_j$ arrives online and the algorithm must decide the value of $y_j$ on its arrival. We propose simple online algorithms for both problems using the online primal dual technique, and obtain nearly optimal competitive ratios for both problems for the important special case of polynomial cost functions. For any convex polynomial cost functions with non-negative coefficients and maximum degree $τ$, we introduce an $O(τ\log n)^τ$-competitive online convex covering algorithm, and an $O(τ)$-competitive online convex packing algorithm, matching the known $Ω(τ\log n)^τ$ and $Ω(τ)$ lower bounds respectively. There is a large family of online resource allocation problems that can be modeled under this online convex covering and packing framework, including online covering and packing problems (with linear objectives), online mixed covering and packing, and online combinatorial auction. Our framework allows us to study these problems using a unified approach.

研究动机与目标

• 为解决在线资源分配中的空白，通过建模具有通用凸成本函数的问题，突破线性或阶梯成本模型的限制。
• 将多样化的在线问题——如混合覆盖与打包、在线设施选址以及组合拍卖——统一于单一凸规划框架之下。
• 为具有可证明近似最优竞争比的凸覆盖与打包设计简单高效的在线算法。
• 表明多项式成本函数在实际中具有相关性，且是在线优化中竞争比有界情况下的最坏情况。

提出的方法

• 将在线凸覆盖与打包问题形式化为具有单调凸成本函数和在线到达的约束的在线凸规划变体。
• 应用在线对偶技术，设计动态调整变量（覆盖问题中的 x_i，打包问题中的 y_j）的算法，以响应新到达的约束或变量。
• 采用基于梯度的连续时间更新规则，变量沿由对偶变量和光滑参数 ρ 定义的路径增加。
• 通过路径积分引入时变对偶变量更新，确保对偶目标函数增加的同时保持可行性。
• 采用精心选择的误差项 ε，以控制对偶增长与原始可行性之间的权衡，ε 根据首个输入自适应设定。
• 利用 Fenchel 对偶性及共轭凸函数的性质，关联原始与对偶目标函数，从而支持竞争比分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有通用凸成本函数的在线资源分配问题（超越线性或固定成本模型）开发统一框架？
• RQ2 当成本函数为度数 τ 的齐次多项式时，能否为在线凸覆盖与打包问题实现竞争比？
• RQ3 在在线设置中，多项式成本函数与其他凸函数相比，其最坏情况竞争比如何？
• RQ4 在线对偶方法能否被调整以处理凸成本函数，同时保持近似最优性能？
• RQ5 现有混合覆盖与打包问题能否被重建成具有凸成本函数的纯凸覆盖问题，以获得更优的竞争比？

主要发现

• 对于具有非负系数的度数 τ 齐次多项式成本函数的在线凸覆盖问题，所提算法实现了 O(τ log n)^τ-竞争比。
• 对于同一类成本函数的在线凸打包问题，算法实现了 O(τ)-竞争比，与已知的 Ω(τ) 下界一致。
• 凸覆盖的竞争比在对数因子范围内是紧的，因为下界为 Ω(τ log n)^τ。
• 该框架允许将混合覆盖与打包问题（如 Azar 等人 [4] 所研究）重建成纯凸覆盖问题，从而实现更简单的算法和更优的竞争比。
• 算法维持一个有界于对偶函数值十分之一的加法误差项 εR，确保尽管存在误差，竞争比仍保持在 O(τ) 量级。
• 分析表明，竞争比仅依赖于多项式最大次数 τ，而不依赖于变量或约束的数量，使其适用于大规模问题。