[论文解读] Operator-valued local Hardy spaces

Runlian Xia, Xiao Xiong|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文引入并系统研究了 $\mathbb{R}^d$ 上的算子取值局部 Hardy 空间，建立了其与算子取值 BMO 空间的对偶性、插值性质以及完整的原子分解。通过使用截断的 Littlewood-Paley 函数和 Lusin 面积函数，将经典局部 Hardy 空间理论推广至非交换设置，证明了 Poisson 核可被任意合理的测试函数替代，且原子范数与函数范数等价。

ABSTRACT

This paper gives a systematic study of operator-valued local Hardy spaces. These spaces are localizations of the Hardy spaces defined by Tao Mei, and share many properties with Mei's Hardy spaces. We prove the ${ m h}_1$-$ m bmo$ duality, as well as the ${ m h}_p$-${ m h}_q$ duality for any conjugate pair $(p,q)$ when $1

研究动机与目标

• 发展算子取值局部 Hardy 空间理论，作为经典局部 Hardy 空间在非交换、非齐次情形下的类比。
• 建立 ${\rm h}_p^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 与 ${\rm bmo}_q^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 在 $1 \leq p < 2$ 及其共轭指数 $q$ 下的对偶性。
• 证明 ${\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 与 ${\rm bmo}^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 是 $L_p(L_\infty(\mathbb{R}^d)\overline{\otimes}\mathcal{M})$ 的插值端点。
• 发展适用于局部情形的 Calderón-Zygmund 理论，证明在范数定义中 Poisson 核可被任意合理的测试函数替代。
• 建立 ${\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 的原子分解，并证明原子范数与函数范数等价。

提出的方法

• 本文通过使用 Poisson 核的截断版本定义算子取值局部 Hardy 空间 ${\rm h}_p^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$，基于 Littlewood-Paley $g$-函数与 Lusin 面积积分。
• 通过构造从 ${\rm bmo}_q^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 到 ${\rm h}_p^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 对偶空间的有界映射，并在 $p=1$ 与 $2<q<\infty$ 时证明等价性，从而证明对偶性。
• 通过复分析与实分析插值方法，将局部情形约化至 Mei 的非局部插值理论，推导出插值结果。
• 发展了局部 Calderón-Zygmund 理论，表明满足 Hörmander 条件的算子在修改后的条件下在 ${\rm h}_p^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 上有界。
• 通过使用光滑且紧支集的函数 $\Phi$ 与 $\phi$ 的卷积，建立离散刻画，以控制原子分解中的范数。
• 通过证明 ${\rm h}_{1,{\rm at}}^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M}) \subset {\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 及其逆包含关系（利用对偶性与范数等价性），完成原子分解的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典局部 Hardy 空间对偶性与原子分解能否推广至非交换、算子取值情形？
• RQ2 算子取值局部 Hardy 空间在复分析与实分析插值下如何表现？
• RQ3 在局部 Hardy 范数定义中，Poisson 核能否被任意合理的测试函数替代？
• RQ4 ${\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 的原子与函数刻画之间有何关系？
• RQ5 Calderón-Zygmund 理论在非交换框架下的局部、截断设置中如何适应？

主要发现

• 本文建立了 ${\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$-${\rm bmo}^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 的对偶性，将经典 Fefferman-Stein 定理推广至算子取值局部情形。
• 对于 $1 < p < \infty$，${\rm h}_p^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 的对偶空间为 ${\rm h}_q^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$，其中 $q$ 为共轭指数，且当 $2 < q < \infty$ 时有 ${\rm h}_q^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M}) = {\rm bmo}_q^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$。
• 局部 Hardy 空间 ${\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 与 ${\rm bmo}^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 是插值端点：$({\rm bmo}^c, {\rm h}_1^c)_{1/p} = {\rm h}_p^c$ 对所有 $1 < p < \infty$ 成立。
• 通过局部 Calderón-Zygmund 理论证明，${\rm h}_p^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 范数定义中的 Poisson 核可被任意合理的测试函数替代。
• 原子 Hardy 空间 ${\rm h}_{1,{\rm at}}^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 与 ${\rm h}_1^c(\mathbb{R}^d,\mathcal{M})$ 一致，且范数等价，从而建立了完整的原子分解。
• 原子等价性的证明依赖于离散刻画与利用 Cauchy-Schwarz 不等式及基于 $L_2$ 的 $\mathcal{M}$-值范数的范数估计。