[论文解读] Optimal Control Computation via Evolution Partial Differential Equation with Arbitrary Definite Conditions

Sheng Zhang, Enmi Yong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的最优控制计算方法，利用带有任意确定条件的演化偏微分方程（EPDE），即使从不可行的初始状态出发也能实现向最优解的收敛。通过构建一个无约束的李雅普诺夫泛函，并应用半隐式离散化将EPDE转化为初值ODE问题，该方法确保了全局收敛性，并通过高精度和鲁棒性的数值实例得到验证。

ABSTRACT

The compact Variation Evolving Method (VEM) that originates from the continuous-time dynamics stability theory seeks the optimal solutions with variation evolution principle. It is further developed to be more flexible in solving the Optimal Control Problems (OCPs), by relaxing the definite conditions from a feasible solution to an arbitrary one for the derived Evolution Partial Differential Equation (EPDE). To guarantee the validity, an unconstrained Lyapunov functional that has the same minimum as the original OCP is constructed, and it ensures the evolution towards the optimal solution from infeasible solutions. With the semi-discrete method, the EPDE is transformed to the finite-dimensional Initial-value Problem (IVP), and then solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods. Illustrative examples are presented to show the effectiveness of the proposed method.

研究动机与目标

• 开发一种灵活的最优控制计算框架，以克服传统方法中固定边界条件的局限性。
• 实现从任意（包括不可行）初始条件向最优解的收敛。
• 通过无约束的李雅普诺夫泛函确保全局收敛，同时保持原始最优控制问题的最小值。
• 通过EPDE的半隐式离散化，提供一种数值可处理的方法，将其转化为初值ODE系统。
• 通过具有高精度和鲁棒性的示范性数值实例验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法基于变分演化原理，从最优控制问题推导出演化偏微分方程（EPDE）。
• 引入一个无约束的李雅普诺夫泛函，其最小值与原始最优控制问题相同，从而确保从任意初始状态出发均能收敛。
• 将EPDE进行半隐式离散化，转化为有限维系统，进而转化为初值问题（IVP）。
• 利用标准的常微分方程（ODE）数值积分方法求解所得IVP。
• 该方法允许任意的确定条件，相较于传统方法要求初始解可行，显著提升了灵活性。
• 该方法利用连续时间动力学稳定性理论，引导系统演化至最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当从任意（可能不可行）初始条件出发时，最优控制问题能否被有效求解？
• RQ2 如何构建李雅普诺夫泛函，以确保无论初始状态如何，都能收敛至最优解？
• RQ3 半隐式离散化在将EPDE转化为可数值求解的ODE系统中起到何种作用？
• RQ4 与现有最优控制计算技术相比，该方法在精度和鲁棒性方面表现如何？
• RQ5 EPDE框架能否推广至处理任意确定条件而不损害收敛性？

主要发现

• 所提出的方法即使从不可行的初始条件出发，也能成功引导系统趋近最优解。
• 无约束的李雅普诺夫泛函通过保持原始最优控制问题的最小值，确保了全局收敛性。
• 将EPDE进行半隐式离散化为IVP，使得可利用标准ODE求解器实现高效数值求解。
• 数值实例表明，该方法在各种测试案例中均表现出高精度和强鲁棒性。
• 该方法通过允许任意的确定条件，展现出显著的灵活性，而传统方法则要求初始点可行。
• 由于其数值稳定性和收敛特性，该方法在实时和大规模最优控制应用中展现出巨大潜力。