[论文解读] Optimal learning of quantum Hamiltonians from high-temperature Gibbs states

Jeongwan Haah, Robin Kothari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种从高温吉布斯态中学习量子哈密顿量系数的最优算法，实现了样本复杂度 $ O(\log N / (\beta\varepsilon)^2) $ 和时间复杂度 $ O(SN) $，并建立了匹配的信息论下界以证明其最优性。该方法利用了期望值的级数展开，并通过马尔可夫随机场技术估计条件概率。

ABSTRACT

We study the problem of learning a Hamiltonian $H$ to precision $\varepsilon$, supposing we are given copies of its Gibbs state $ρ=\exp(-βH)/\operatorname{Tr}(\exp(-βH))$ at a known inverse temperature $β$. Anshu, Arunachalam, Kuwahara, and Soleimanifar (Nature Physics, 2021, arXiv:2004.07266) recently studied the sample complexity (number of copies of $ρ$ needed) of this problem for geometrically local $N$-qubit Hamiltonians. In the high-temperature (low $β$) regime, their algorithm has sample complexity poly$(N, 1/β,1/\varepsilon)$ and can be implemented with polynomial, but suboptimal, time complexity. In this paper, we study the same question for a more general class of Hamiltonians. We show how to learn the coefficients of a Hamiltonian to error $\varepsilon$ with sample complexity $S = O(\log N/(β\varepsilon)^{2})$ and time complexity linear in the sample size, $O(S N)$. Furthermore, we prove a matching lower bound showing that our algorithm's sample complexity is optimal, and hence our time complexity is also optimal. In the appendix, we show that virtually the same algorithm can be used to learn $H$ from a real-time evolution unitary $e^{-it H}$ in a small $t$ regime with similar sample and time complexity.

研究动机与目标

• 开发一种在高温下从吉布斯态样本中学习未知哈密顿量系数的样本与时间高效算法。
• 将先前针对几何局部哈密顿量的工作扩展到更广泛的低交集哈密顿量类别。
• 建立样本复杂度的紧致界，并通过信息论下界证明其最优性。
• 证明该算法的时间复杂度是最优的，原因在于其样本复杂度的最优性。
• 表明该框架同样适用于在小-$ t $ 区域内从真实时间演化幺正矩阵 $ e^{-itH} $ 中学习。

提出的方法

• 使用对数配分函数的多变量泰勒级数展开，将期望值表示为关联簇的形式。
• 采用基于簇的导数方法，并枚举连通簇以估计哈密顿量的系数。
• 应用牛顿-拉夫森方法求解由矩匹配导出的方程组，确保在样本大小上线性时间收敛。
• 利用样本中的经验频率估计自旋构型的条件概率，误差界由切尔诺夫型大数定律导出。
• 将问题简化为在吉布斯态的马尔可夫随机场表示中估计条件概率，利用局部马尔可夫性质。
• 基于邻域的递归分解方法，通过条件期望隔离单个哈密顿量系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 从高温吉布斯态中学习量子哈密顿量的最优样本复杂度是什么？
• RQ2 是否可以使哈密顿量学习的时间复杂度与样本大小呈线性关系，同时保持最优样本复杂度？
• RQ3 所提算法的样本复杂度是否紧致，能否被下界匹配？
• RQ4 该框架如何扩展到从真实时间演化幺正矩阵 $ e^{-itH} $ 中学习，适用于小$ t $ 区域？
• RQ5 该方法能否超越几何局部哈密顿量，推广到低交集类？

主要发现

• 所提算法实现了样本复杂度 $ S = O(\log N / (\beta\varepsilon)^2) $，在对数因子范围内是最优的。
• 时间复杂度为 $ O(SN) $，与样本大小呈线性关系，且由于样本复杂度的最优性，该时间复杂度也被证明是最优的。
• 针对 $ \ell_\infty $ 和 $ \ell_2 $ 误差，建立了匹配的信息论下界，确认了样本复杂度的最优性。
• 相同的算法框架可被适配用于在小-$ t $ 区域内从真实时间演化幺正矩阵 $ e^{-itH} $ 中学习哈密顿量，复杂度相似。
• 该方法依赖于在吉布斯态的马尔可夫随机场表示中估计条件概率，误差界由集中不等式导出。
• 分析表明，$ O(\exp(2\beta(Ld)d + Ld + 4\beta d + 2\beta\varepsilon) / (\beta^2\varepsilon^2)) $ 个样本已足够，且对失败概率和系统大小具有对数依赖性。