[论文解读] Optimal Quantum Circuits for Nearest-Neighbor Architectures

David J. Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 10

一句话总结

该论文证明，在仅相邻量子比特可相互作用的kD最近邻架构上，量子线路可实现与允许任意两量子比特门的标淮抽象模型相当的渐近深度。通过使用经典控制器协调基于量子隐形传态的操作，作者表明可在常数因子范围内实现最小深度的线路，从而为量子算法设计中假设非局域相互作用的合理性提供了支持。

ABSTRACT

We show that the depth of quantum circuits in the realistic architecture where a classical controller determines which local interactions to apply on the kD grid Z^k where k >= 2 is the same (up to a constant factor) as in the standard model where arbitrary interactions are allowed. This allows minimum-depth circuits (up to a constant factor) for the nearest-neighbor architecture to be obtained from minimum-depth circuits in the standard abstract model. Our work therefore justifies the standard assumption that interactions can be performed between arbitrary pairs of qubits. In particular, our results imply that Shor's algorithm, controlled operations and fanouts can be implemented in constant depth, polynomial size and polynomial width in this architecture. We also present optimal non-adaptive quantum circuits for controlled operations and fanouts on a kD grid. These circuits have depth Theta(n^(1 / k)), size Theta(n) and width Theta(n). Our lower bound also applies to a more general class of operations.

研究动机与目标

• 通过分析最近邻量子计算中的深度开销，弥合理论量子线路模型与实际物理架构之间的差距。
• 证明尽管存在物理局域性约束，量子算法设计中广泛假设的任意两量子比特相互作用可高效实现的合理性。
• 为kD网格上的基本操作（如受控-U门和扇出）建立量子线路深度的紧致上下界。
• 在kD最近邻架构上，为受控操作与扇出开发一种非自适应、最优的量子线路构造，其深度为Θ(√[k]{n})。

提出的方法

• 设计一种二维经典控制器最近邻量子线路（2D CCNTC）模型，其中经典控制器在kD网格上调度局部两量子比特操作。
• 提出一种基于隐形传态的方案，仅使用最近邻相互作用，即可在常数深度内模拟任意非局域两量子比特门。
• 引入一种新颖的量子比特重排协议，可在常数深度内将量子比特从一列移动到另一列，从而实现高效的线路编译。
• 使用基于ℓ₁距离的论证方法，结合广义的抽屉原理变体，证明距离目标较远的量子比特在有限步内无法影响目标。
• 利用ℤᵏ中的广义等周不等式，证明任意n个量子比特的集合中，存在一个大小为Ω(n)的子集，其两两间ℓ₁距离为Ω(√[k]{n})。
• 证明任何在kD NANTC电路中实现ε-敏感操作（如受控-U或扇出）的线路，其深度下界为Ω(√[k]{n})。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有经典控制器的kD最近邻架构上，是否可常数深度模拟具有任意两量子比特相互作用的量子线路？
• RQ2 在kD最近邻架构上实现受控-U操作与扇出的最小可实现深度是多少？
• RQ3 当强制实施物理局域性时，量子算法设计中假设非局域两量子比特相互作用的合理性是否在深度复杂度上成立？
• RQ4 在kD最近邻架构上，ε-敏感操作的量子线路深度是否存在根本性的下界？
• RQ5 是否可在kD网格上构造出深度为Θ(√[k]{n})的受控操作与扇出的最优非自适应线路？

主要发现

• 在具有经典控制器的kD最近邻架构上，量子线路的深度与允许任意两量子比特门的标淮抽象模型在渐近意义上等价（至多相差常数因子）。
• 肖尔算法可在2D CCNTC模型中以常数深度、多项式大小与多项式宽度实现，从而为其在物理实现中的应用提供了支持。
• 具有n个控制位的受控-U操作与具有n个目标位的扇出操作，可在2D CCNTC模型中以常数深度、多项式大小与多项式宽度实现。
• 在kD网格上，受控操作与扇出的最优非自适应量子线路具有深度Θ(√[k]{n})、大小Θ(n)与宽度Θ(n)，与已证明的下界完全匹配。
• 任何在kD NANTC电路中实现受控-U门或扇出且误差小于1/2的线路，其深度必须为Ω(√[k]{n})，从而证明了所提构造的最优性。
• 该下界适用于一类广义的ε-敏感操作，表明在kD网格上此类任务的Ω(√[k]{n})深度是根本性的。