[论文解读] Shor's algorithm on a nearest-neighbor machine

Samuel Kutin|ArXiv.org|Aug 31, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 47

一句话总结

本文提出一种新型量子指数电路，用于肖尔算法，在最近邻量子架构上实现线性宽度与二次方深度，通过结合德拉珀的变换加法器与扎尔卡的模乘法近似技术。该方法将大型QFT数量从O(n²)减少至O(n)，在保持高概率正确性的同时，实现近邻约束下的高效实现。

ABSTRACT

We give a new ``nested adds'' circuit for implementing Shor's algorithm in linear width and quadratic depth on a nearest-neighbor machine. Our circuit combines Draper's transform adder with approximation ideas of Zalka. The transform adder requires small controlled rotations. We also give another version, with slightly larger depth, using only reversible classical gates. We do not know which version will ultimately be cheaper to implement.

研究动机与目标

• 设计一种在最近邻量子比特相互作用约束下可扩展的肖尔因数分解算法用量子指数电路。
• 在保持线性宽度的前提下，将最近邻指数电路的深度从O(n³)降低至O(n²)。
• 通过最小化昂贵的受控旋转门并利用近似技术，实现实际可行的实现。
• 为现有需要超线性宽度或立方深度的最近邻架构电路提供可行替代方案。
• 探索使用小受控旋转的电路与仅使用可逆经典门的电路之间的权衡。

提出的方法

• 使用德拉珀的变换加法器，该方法依赖QFT和受控旋转，以高效执行受控加法。
• 应用扎尔卡的近似方法，通过仅使用中间值的高阶ℓ₀位来估计模乘法中的商q。
• 通过O(n)次受控加法实现模乘法，每轮乘法仅使用一次QFT，将大型QFT数量从O(n²)减少至O(n)。
• 实现嵌套加法结构，将控制位与部分积交错分布在量子比特块中，以支持最近邻操作。
• 引入一种经典版本，使用进位传播加法器和伪Toffoli门，完全消除小受控旋转，但代价是深度增至O(n² log n)。
• 采用网格电路实现寄存器交错，并使用简化受控交换门处理零初始化寄存器，以降低电路复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在最近邻量子架构上构建出线性宽度与二次方深度的模指数电路？
• RQ2 如何在模乘法中减少大型QFT的数量以改善电路深度？
• RQ3 使用小受控旋转（基于QFT的加法器）的电路与仅使用可逆经典门的电路之间存在何种权衡？
• RQ4 扎尔卡的商估计近似技术能否有效集成到最近邻电路框架中？
• RQ5 在量子电路中使用截断位表示进行高精度算术时，高阶位估计错误的概率有何影响？

主要发现

• 所提出的电路在最近邻架构上实现模指数运算的宽度为O(n)，深度为O(n²)，优于先前O(n³)深度的解决方案。
• 通过仅使用ℓ₀ = O(log n)个高阶位近似商q，大型QFT数量从O(n²)减少至O(n)，显著降低深度开销。
• 使用德拉珀变换加法器的电路需要小受控旋转，但保持O(n²)深度与线性宽度。
• 一种替代经典版本完全避免小受控旋转，实现O(n² log n)深度与线性宽度，与范·梅特的深度相当，但宽度扩展更优。
• 在进位传播版本中，高阶位估计错误的概率被限制在O(n³ 2⁻ᵗ)以内，通过选择t = O(log n)可使其可忽略。
• 该电路框架与现有最近邻QFT实现兼容，可实现完整肖尔算法电路，具备线性宽度与二次方深度。