[论文解读] Optional splitting formula in a progressively enlarged filtration

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文確立了在逐漸擴大過濾中，可選分裂公式有效的充分條件，這是信用風險建模中的關鍵工具。本文證明，在條件密度假設下，該公式對多個隨機時間成立，從而解決了在擴大過濾中半鞅與鞅分解中的長期存在性問題。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be a filtration and $τ$ be a random time. Let $\mathbb{G}$ be the progressive enlargement of $\mathbb{F}$ with $τ$. We study the validity of the following formula, called optional splitting formula : For any $\mathbb{G}$-optional process $Y$, there exist a $\mathbb{F}$-optional process $Y'$ and a function $Y"$ defined on $[0,\infty] imes(\mathbb{R}_+ imesΩ)$ being $\mathcal{B}[0,\infty]\otimes\mathcal{O}(\mathbb{F})$ measurable, such that $$ Y=Y'\ind_{[0,τ)}+Y"(τ)\ind_{[τ,\infty)} $$ We are interested in this formula, because it has been taken for granted in number of recent works in credit risk modeling, whilst such a formula can not be true in general. Sufficient conditions will be given for the validity of the above formula as well as of its extension in the case of multiple random times.

研究动机与目标

• 釐清可選分裂公式在逐漸擴大過濾中成立的條件。
• 解決該公式有效性範圍的模糊性，特別是在信用風險建模情境中。
• 提供實用的充分條件——具體而言是條件密度假設——以確保公式的有效性。
• 將可選分裂公式與過濾擴大理論中基本的存在性問題聯繫起來。
• 證明由於其底層的密度假設，該公式在關鍵先前研究中（例如 [9, 14, 27, 28, 31]）成立。

提出的方法

• 本文分析過濾 𝔽 對隨機時間 τ 的逐漸擴大，定義 resulting 過濾為 𝔾。
• 引入可選分裂公式：對於任意 𝔾-可選過程 Y，存在一個 𝔽-可選過程 Y′ 和一個聯合可測函數 Y′′，使得 Y = Y′1_{[0,τ)} + Y′′(τ)1_{[τ,∞)}。
• 分析依賴於參數化可選投影，並使用以 ℱ∞ 為基的隨機測度 ν，其密度為 γ*。
• 證明在密度假設下，條件期望 𝔼[h(ξ₁,τ₁)|𝒢ₜ] 透過投影的右連續路徑性質，滿足可選分裂公式。
• 透過數學歸納法將證明推廣至多個帶標記的時間 (ξᵢ,τᵢ)，使用相同的投影與密度論證。
• 將結果推廣至 ℱ∞-可測的隨機測度，並延伸至終極 σ-代數 𝒢∞−。

实验结果

研究问题

• RQ1 在逐漸擴大過濾中，可選分裂公式在何種條件下有效？
• RQ2 為何該公式並非普遍有效？其精確的存在性約束為何？
• RQ3 條件密度假設如何確保分裂公式的有效性？
• RQ4 可選分裂公式與信用風險模型中預測對偶投影之間的關係為何？
• RQ5 該公式能否推廣至多個隨機時間？在何種假設下成立？

主要发现

• 對於單一隨機時間 τ，若相對於 ℱ∞ 滿足條件密度假設，則可選分裂公式成立。
• 對於多個帶標記的時間 ((ξ₁,τ₁),…,(ξₘ,τₘ))，在相對於 ℱ∞ 的聯合密度假設下，公式成立。
• 由於底層的密度假設，該公式在若干關鍵信用風險論文中（[9, 14, 27, 28, 31]）成立。
• h(x,u)γ*(x,u) 對 ℱₜ 的參數化可選投影，確保了分裂公式中所需 𝔽-可選過程的存在性。
• 投影過程的右連續性確保了鞅 𝔼[h(ξ₁,τ₁)|𝒢ₜ] 滿足可選分裂公式。
• 結果確認，對於具有密度 γ* 的 ℱ∞-可測隨機測度，可實現 𝔾-可選過程的一致分解。