[论文解读] Orbifold Cohomology as Periodic Cyclic Homology

Vladimir Baranovsky|ArXiv.org|Jun 24, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文建立了一个范畴框架，通过群作用层的导出范畴，将椭圆同调与周期循环同调联系起来。证明了全局商空间 $X/G$ 的椭圆同调同构于 $X$ 上 $G$-等变层的导出范畴的周期循环同调，为Cohomological Crepant Resolution Conjecture 提供了新方法，并暗示了椭圆积结构的范畴起源。

ABSTRACT

It known from the work of Feigin-Tsygan, Weibel and Keller that the cohomology groups of a smooth complex variety X can be recovered from (roughly speaking) its derived category of coherent sheaves. In this paper we show that for a finite group G acting on X the same procedure applied to G-equivariant sheaves gives the orbifold cohomology of X/G. As an application, in some cases we are able to obtain simple proofs of an additive isomorphism between the orbifold cohomology of X/G and the usual cohomology of its crepant resolution (the general equality of Euler and Hodge numbers was obtained earlier by various authors). We also state some conjectures on the product structures, as well as the singular case; and a connection with recent work by Kawamata.

研究动机与目标

• 通过周期循环同调建立椭圆同调的导出范畴框架。
• 为 $X/G$ 的椭圆同调与一个创痕性解析 $Y$ 的同调之间的加法同构提供新证明。
• 将椭圆积结构与导出范畴中的卷积积联系起来。
• 通过凝聚层的循环同调，将该方法推广至奇异的Deligne-Mumford堆栈。

提出的方法

• 使用周期循环同调 $HC_\bullet(\mathcal{A}, W)$ 作为精确范畴 $\mathcal{A}$（如 $Vect_G(X)$ 或 $Coh_G(X)$）的同调理论。
• 对有限群作用构造一个 $G$-等变同构 $\psi_X: HC_\bullet(Vect_G(X), W) \simeq \left(\bigoplus_{g\in G} HC_\bullet(Vect(X^g), W)\right)_G$。
• 利用 $HC_\bullet$ 在局部化对的导出等价下不变的性质，将 $D^b(Y)$ 与 $D^b_G(X)$ 联系起来。
• 利用在固定点集 $X^g$ 上的导出推前与拉回结构来定义同构。
• 在 $Z = X \times_{[X/G]} X$ 上定义卷积积 $\mathcal{F} * \mathcal{G} = m_* (p_1^* \mathcal{F} \otimes p_2^* \mathcal{G})$，以建模椭圆积。
• 推测在 $Z = \coprod_g X^g$ 上对周期循环同调进行 $G$-余不变构造，可从Ruan理论中恢复椭圆积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过周期循环同调，从 $G$-等变层的导出范畴范畴化地恢复椭圆同调？
• RQ2 周期循环同调 $HC_\bullet(D^b_G(X))$ 与 $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 之间的同构是否可扩展至积结构？
• RQ3 能否在导出范畴中通过卷积积实现 $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 上的椭圆积？
• RQ4 该同构是否可通过凝聚层的循环同调推广至奇异的Deligne-Mumford堆栈？
• RQ5 导出等价 $D^b(Y) \simeq D^b_G(X)$ 是否蕴含 $H^*(Y, \mathbb{C})$ 与 $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 之间的环同构？

主要发现

• 本文为任意有限群 $G$ 作用在复数域上的光滑拟投影代数簇 $X$ 上，构造了一个自然同构 $\psi_X: HC_\bullet(Vect_G(X), W) \simeq \left(\bigoplus_{g\in G} HC_\bullet(Vect(X^g), W)\right)_G$。
• 当 $W = \mathbb{C}[u, u^{-1}]$ 时，周期循环同调 $HC_\bullet(Vect_G(X), W)$ 作为分次向量空间，恢复了椭圆同调 $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$。
• $\psi_X$ 关于 $G$-等变映射是函子性的，确保与固定点包含映射的拉回兼容。
• 已知在某些情形下存在的导出等价 $D^b(Y) \simeq D^b_G(X)$，通过周期循环同调构造，可推出加法同构 $H^*(Y, \mathbb{C}) \simeq H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$。
• 本文推测，在 $Z = \coprod_g X^g$ 上的卷积积可诱导出 $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 上的椭圆积，为Ruan的积提供了范畴模型。
• 对于奇异的 $X$，本文建议通过 $Coh_G(X)$ 的循环同调来定义椭圆同调，可能产生比经典同调更良好数的不变量。