[论文解读] Overcoming slowly decaying Kolmogorov n-width by transport maps: application to model order reduction of fluid dynamics and fluid--structure interaction problems

Monica Nonino, Francesco Ballarin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 51被引用 21

一句话总结

本文提出一种基于输运映射的预处理技术，以加速对流主导的流体动力学及流固耦合问题的降模态建模中Kolmogorov n-宽度的衰减。在标准POD方法导致特征值衰减缓慢的场景下，该方法通过在POD前对快照应用光滑、可逆的映射，使相同精度下基函数维度最高降低10倍，显著提升了参数化与非定常流动模拟的在线效率。

ABSTRACT

In this work we focus on reduced order modelling for problems for which the resulting reduced basis spaces show a slow decay of the Kolmogorov $n$-width, or, in practical calculations, its computational surrogate given by the magnitude of the eigenvalues returned by a proper orthogonal decomposition on the solution manifold. In particular, we employ an additional preprocessing during the offline phase of the reduced basis method, in order to obtain smaller reduced basis spaces. Such preprocessing is based on the composition of the snapshots with a transport map, that is a family of smooth and invertible mappings that map the physical domain of the problem into itself. Two test cases are considered: a fluid moving in a domain with deforming walls, and a fluid past a rotating cylinder. Comparison between the results of the novel offline stage and the standard one is presented.

研究动机与目标

• 解决在对流主导的流体动力学与流固耦合问题中，降模态建模时Kolmogorov n-宽度衰减缓慢的挑战。
• 克服标准POD方法在该类问题中特征值衰减缓慢、导致降模态基维度较大的局限性。
• 在离线阶段开发一种预处理方法，通过输运映射变换快照，以增强解流形的逼近性质。
• 在两个基准问题上验证该方法的有效性：旋转圆柱绕流问题与具有行波行为的流固耦合问题。
• 在不增加在线阶段计算成本的前提下，显著减少实现精确在线模拟所需的基函数数量。

提出的方法

• 在进行POD之前，对解流形的快照应用一族光滑、可逆的输运映射。
• 输运映射基于对解行为的先验知识（如涡核位置或波传播角度）定义，确保变换后的流形具有更快的Kolmogorov n-宽度衰减。
• 预处理仅在离线阶段应用，保持了降模态基方法的在线效率。
• 该方法依赖于变换后解流形具有改进的逼近性质，从而导致POD特征值更快衰减的假设。
• 在两个测试案例中，输运映射参数通过已知的解的物理特性（如涡位置或旋转角度）精确计算得出。
• 通过比较标准POD与预处理快照上应用POD的特征值衰减率和降模态基维度，对方法进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 输运映射预处理是否能显著加速流体动力学与流固耦合问题解流形中Kolmogorov n-宽度的衰减？
• RQ2 使用输运映射在多大程度上减少了实现给定精度所需的基础函数数量？
• RQ3 该预处理技术在具有行波行为或由运动边界引起的涡脱落问题中表现如何？
• RQ4 该方法是否能有效应用于参数化与非参数化的非定常问题，且在线计算成本极低？
• RQ5 使用精确与近似输运映射参数对降模态基方法性能有何影响？

主要发现

• 在流固耦合问题中，采用预处理的10模态降模态基可达到标准方法30模态基的精度，系统维度至少降低30%。
• 在非参数化的旋转圆柱绕流问题中，预处理后POD特征值衰减速率提高了两个数量级，达到10^-3量级所需模态数从约30减少至约10。
• 在雷诺数为47、82.72和145的参数化案例中，预处理POD的特征值衰减显著快于标准POD，尤其在Re=145时改善最为显著。
• 在流固耦合问题的压力分量中，该方法使达到目标精度所需模态数减少了10倍。
• 该改进在所有解分量（流体速度、位移与压力）中均一致，表明其具有广泛适用性。
• 结果证实，输运映射预处理能有效克服对流主导问题中Kolmogorov n-宽度衰减缓慢的问题，实现高效的降模态建模。