[论文解读] Overlapping Schwarz Decomposition for Nonlinear Optimal Control.

Sen Na, Sungho Shin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 36被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种用于非线性最优控制问题的重叠Schwarz域分解方法，通过在重叠的时间子域上并行求解子问题，并更新边界处的对偶信息以实现局部收敛。关键贡献在于在满足二阶充分性、可控制性和有界性条件的前提下，证明了重叠大小与指数收敛性之间的关系，该结果基于一种新颖的渐近敏感性衰减分析，已在四旋翼飞行器运动规划问题上得到验证。

ABSTRACT

We present an overlapping Schwarz decomposition algorithm for solving nonlinear optimal control problems (OCPs). Our approach decomposes the time domain into a set of overlapping subdomains and solves subproblems defined over such subdomains in parallel. Convergence is attained by updating primal-dual information at the boundaries of the overlapping regions. We show that the algorithm exhibits local convergence and that the convergence rate improves exponentially with the size of the overlap. Our convergence results rely on a sensitivity result for OCPs that we call asymptotic decay of sensitivity. Intuitively, this result states that impact of parametric perturbations at the boundaries of the time domain (initial and final time) decays exponentially as one moves away from the perturbation points. We show that this condition holds for nonlinear OCPs under a uniform second-order sufficient condition, a controllability condition, and a uniform boundedness condition. The approach is demonstrated by using a highly nonlinear quadrotor motion planning problem.

研究动机与目标

• 开发一种高效求解非线性最优控制问题（OCPs）的并行域分解方法。
• 通过将时间域分解为重叠子域，解决大规模OCPs的挑战。
• 基于一种新的敏感性衰减性质，为所提算法建立理论收敛保证。
• 在高度非线性、实际应用的控制问题（如四旋翼飞行器运动规划）上展示该方法的有效性。

提出的方法

• 将时间域划分为重叠子域，以实现子问题的并行求解。
• 每个子问题使用标准最优控制技术独立求解，边界条件通过迭代方式更新。
• 在重叠界面处更新原变量和对偶变量（如状态和伴随敏感性），以保证一致性。
• 收敛由反馈机制驱动，将重叠区域的修正传播至内部区域。
• 理论收敛性依赖于一种新的敏感性衰减结果：初始/最终时刻的扰动向内指数衰减。
• 该方法在非线性四旋翼飞行器运动规划问题上实现并测试，以验证性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 重叠Schwarz分解能否实现非线性最优控制问题的局部收敛？
• RQ2 重叠区域的大小如何影响算法的收敛速率？
• RQ3 在何种条件下，最优控制解的敏感性会从边界扰动开始指数衰减？
• RQ4 所提方法在高度非线性系统（如四旋翼飞行器）上是否仍能保持收敛性和效率？
• RQ5 在标准OCP假设下，敏感性的渐近衰减能否被严格建立？

主要发现

• 所提出的重叠Schwarz算法对非线性最优控制问题表现出局部收敛性。
• 随着重叠区域增大，收敛速率呈指数提升，表明在并行计算环境中具有强大的可扩展性。
• 在统一的二阶充分性条件、可控制性和统一有界性条件下，建立了敏感性的渐近衰减性质。
• 该衰减特性确保边界扰动对子域内部的影响逐渐减弱，从而实现有效的域分解。
• 该方法成功求解了高度非线性的四旋翼飞行器运动规划问题，证实了其实际适用性和高效性。