[论文解读] p-adic boundary values

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Jan 28, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文构建了p进边界值映射——积分变换——在p进对称空间上全纯表示的对偶与由GL(n,K)上局部解析函数构造的主系列表示之间。它将这些变换的像刻画为满足特定变换性质及一类超几何型偏微分方程组的函数空间，推广了Morita在SL(2,K)上的工作，并将Schneider-Stuhler在p进情形下的de Rham上同调结果扩展至边界值理论框架。

ABSTRACT

We study in detail certain natural continuous representations of G = GL(n,K) in locally convex vector spaces over a locally compact, non-archimedean field K of characteristic zero. We construct boundary value maps, or integral transforms, between subquotients of the dual of a ``holomorphic'' representation coming from a p-adic symmetric space, and ``principal series'' representations constructed from locally analytic functions on G. We characterize the image of each of our integral transforms as a space of functions on $G$ having certain transformation properties and satisfying a system of partial differential equations of hypergeometric type. This work generalizes earlier work of Morita, who studied this type of representation of the group SL(2,K). It also extends the work of Schneider-Stuhler on the deRham cohomology of p-adic symmetric spaces. We view this work as part of a general program of developing the theory of such representations.

研究动机与目标

• 构建非阿赋值域上局部凸向量空间中GL(n,K)连续表示的一般理论。
• 在全纯表示的对偶子商与主系列表示之间构造积分变换（边界值映射）。
• 将这些变换的像刻画为满足特定变换性质及超几何型偏微分方程组的G上函数空间。
• 将Morita在SL(2,K)上的早期结果推广至一般线性群GL(n,K)。
• 将Schneider-Stuhler的p进对称空间de Rham上同调框架扩展至包含边界值理论。

提出的方法

• 利用特征为零的非阿赋值域K上的局部凸向量空间构造GL(n,K)的表示。
• 通过p进对称空间定义全纯表示，并考虑其对偶。
• 将边界值映射定义为从全纯表示的对偶到主系列表示的积分变换。
• 利用G上的局部解析函数构造主系列表示。
• 通过推导一类超几何型偏微分方程组来分析变换的像。
• 应用p进分析与表示论的技术来刻画像空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 从全纯表示到GL(n,K)上主系列表示的p进边界值映射的像具有怎样的结构？
• RQ2 像函数的变换性质如何与G上的群作用相关联？
• RQ3 在p进设定下，刻画积分变换像的偏微分方程组是什么？
• RQ4 该构造在何种意义上推广了Morita在SL(2,K)上的工作至GL(n,K)？
• RQ5 该边界值理论如何扩展Schneider-Stuhler对p进对称空间de Rham上同调的框架？

主要发现

• 每个边界值映射的像被精确刻画为在群作用下满足特定变换性质的G上函数空间。
• 这些像函数被证明满足一类超几何型偏微分方程组。
• 该构造将Morita在SL(2,K)上的结果推广至更高秩情形GL(n,K)。
• 边界值映射在p进对称空间上的全纯表示与主系列表示之间建立了桥梁。
• 该结果通过引入边界值结构，扩展了p进对称空间de Rham上同调理论。
• 该方法建立了一个通过积分变换与PDE研究p进表示的新框架。