[论文解读] $p$-Operator space structure on Feichtinger--Fig\`{a}-Talamanca--Herz Segal algebras

Serap Öztop, Nico Spronk|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在局部紧群 $G$ 的 Figà-Talamanca–Herz 代数 $A^p(G)$ 的 Feichtinger–Figà-Talamanca–Herz Segal 代数 $S^p_0(G)$ 上引入了 $p$-算子空间结构，该代数是 $A^p(G)$ 中的最小 Segal 代数。通过弱完全有界映射证明了该结构的自然性，建立了诸如项目张量积、子群限制以及在正规子群上平均等函子性质。关键成果是得到了一个弱完全等距张量积公式：当 $G$ 和 $H$ 为可约群时，有 $S^p_0(G) \hat{\otimes}_p S^p_0(H) \cong S^p_0(G \times H)$，该结果将 $p=2$ 情形的经典结果推广至一般 $1 < p < \infty$。

ABSTRACT

We consider the minimal boundedly-translation-invariant Segal algebra $S_0^p(G)$ in the Fig\`{a}-Talamanca--Herz algebra $A_p(G)$ of a locally compact group $G$. In the case that $p=2$ and $G$ is abelian this is the classical Segal algebra of Feichtinger. Hence we call this the Feichtinger--Fig\`{a}-Talamanca--Herz Segal algebra of $G$. Remarkably, this space is also a Segal algebra in $L^1(G)$ and is, in fact, the minimal such algebra which is closed under pointwise multiplication by $\apg$. Even for $p=2$, this result is new for non-abelian $G$. We place a $p$-operator space structure on $S_0^p(G)$, and demonstrate the naturality of this by showing that it satisfies all natural functiorial properties: projective tensor products, restriction to subgroups and averaging over normal subgroups. However, due to complications arising within the theory of $p$-operator spaces, we are forced to work with weakly completely bounded maps in many of our results.

研究动机与目标

• 为任意局部紧群 $G$ 的 Figà-Talamanca–Herz 代数 $A^p(G)$ 中的最小 Segal 代数 $S^p_0(G)$ 定义一个自然的 $p$-算子空间结构。
• 证明该结构满足关键函子性质：项目张量积、子群限制以及在正规子群上平均。
• 通过引入弱完全有界映射，解决 $p$-算子空间理论中自然嵌入 $V \to V^{**}$ 不是完全等距这一技术难题，从而保持函子性。
• 建立 $S^p_0(G)$ 是 $L^1(G)$ 中在 $A^p(G)$ 元素点乘下封闭的最小 Segal 代数这一结果，该结论即使在 $p=2$ 且 $G$ 非交换时也属新发现。
• 通过改进的弱完全有界映射理论，将 [29] 中 $p=2$ 的算子空间框架推广至一般 $1 < p < \infty$。

提出的方法

• 将 $S^p_0(G) = A^p(G)_{\min}$ 定义为 $A^p(G)$ 中的最小 Segal 代数，推广了 $p=2$ 且 $G$ 交换时 Feichtinger 的经典 $S_0(G)$。
• 采用 Daws [5] 提出的 $p$-算子空间理论，并引入弱完全有界映射以克服标准 $p$-算子空间框架的局限性。
• 利用恒等式 $N^p(G) = L^{p'}(G)^r \hat{\otimes}_p L^p(G)^c$，将 $S^p_0(G)$ 的元素表示为行与列算子空间的项目张量积元素。
• 通过紧支集 $L^p$-函数的结构，证明商映射 $Q'_{Mp(K)}: L^1(G) \hat{\otimes}_p M_p(K) \to S^p_0(G)$ 是弱完全满射。
• 构造包含商映射与张量积的交换图，证明映射 $\tau_N: M_p(K) \to A^p(G/N)$ 是弱完全压缩映射，从而实现子群限制与平均定理。
• 利用弱完全商映射与 $N^p(G)$ 的结构，建立当 $G$ 与 $H$ 为可约群时，弱完全等距张量积公式 $S^p_0(G) \hat{\otimes}_p S^p_0(H) \cong S^p_0(G \times H)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般 $1 < p < \infty$ 及任意局部紧群 $G$ 的 $A^p(G)$ 中的最小 Segal 代数 $S^p_0(G)$ 定义一个自然的 $p$-算子空间结构？
• RQ2 如何解决 $p$-算子空间理论中自然嵌入 $V \to V^{**}$ 不是完全等距的问题，以保持函子性？
• RQ3 当 $p \neq q$ 时，包含关系 $S^p_0(G) \subset S^q_0(G)$ 是否为弱完全有界，特别是在基于 $L^p$ 的算子空间结构背景下？
• RQ4 当 $G$ 为交换群时，傅里叶变换是否保持 $S^p_0(G)$ 的内在结构？能否在 $A^2(\hat{G})$ 中刻画 $F(S^p_0(G))$？
• RQ5 能否通过弱完全有界映射建立 $S^p_0(G)$ 的函子性质，如子群限制与在正规子群上的平均？

主要发现

• 空间 $S^p_0(G)$ 是 $L^1(G)$ 中在 $A^p(G)$ 元素点乘下封闭的最小 Segal 代数，该结论由定理 2.7 建立，即使在 $p=2$ 且 $G$ 非交换时也属新结果。
• $S^p_0(G)$ 上的 $p$-算子空间结构通过弱完全有界映射自然定义，从而可恢复子群限制与正规子群平均等函子性质。
• 当 $G$ 与 $H$ 为可约群时，项目张量积公式 $S^p_0(G) \hat{\otimes}_p S^p_0(H) \cong S^p_0(G \times H)$ 弱完全等距成立，该结果推广了 [29] 中 $p=2$ 的结果。
• 商映射 $Q'_{Mp(K)}: L^1(G) \hat{\otimes}_p M_p(K) \to S^p_0(G)$ 是弱完全满射，为构造算子空间结构提供了关键技术工具。
• 映射 $\tau_N: M_p(K) \to A^p(G/N)$ 是弱完全压缩映射，从而可在 $\tau_N(M_p(K)) \subset A^p(G/N)$ 上构造弱完全压缩的 $p$-算子 Segal 理想结构。
• $S^p_0(G) \subset S^q_0(G)$ 的包含关系有界，且在某些条件下可能为弱完全有界，提示可将对偶框架推广至 $p \neq 2$ 的情形。