[论文解读] Palette Sparsification Beyond $(\Delta+1)$ Vertex Coloring

Noga Alon, Sepehr Assadi|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文将调色板稀疏化方法扩展至经典 $(\Delta+1)$ 顶点着色框架之外，证明对于 $(1+\varepsilon)\Delta$ 着色，每个顶点采样 $O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$ 种颜色即可以高概率实现合法着色。此外，论文还建立了三角形自由图和局部列表着色设置下的稀疏化定理，从而实现了图着色问题在次线性和流式计算模型下的改进算法。

ABSTRACT

A recent palette sparsification theorem of Assadi, Chen, and Khanna [SODA'19] states that in every $n$-vertex graph $G$ with maximum degree $\Delta$, sampling $O(\log{n})$ colors per each vertex independently from $\Delta+1$ colors almost certainly allows for proper coloring of $G$ from the sampled colors. Besides being a combinatorial statement of its own independent interest, this theorem was shown to have various applications to design of algorithms for $(\Delta+1)$ coloring in different models of computation on massive graphs such as streaming or sublinear-time algorithms. In this paper, we further study palette sparsification problems: * We prove that for $(1+\varepsilon) \Delta$ coloring, sampling only $O_{\varepsilon}(\sqrt{\log{n}})$ colors per vertex is sufficient and necessary to obtain a proper coloring from the sampled colors. * A natural family of graphs with chromatic number much smaller than $(\Delta+1)$ are triangle-free graphs which are $O(\frac{\Delta}{\ln{\Delta}})$ colorable. We prove that sampling $O(\Delta^{\gamma} + \sqrt{\log{n}})$ colors per vertex is sufficient and necessary to obtain a proper $O_{\gamma}(\frac{\Delta}{\ln{\Delta}})$ coloring of triangle-free graphs. * We show that sampling $O_{\varepsilon}(\log{n})$ colors per vertex is sufficient for proper coloring of any graph with high probability whenever each vertex is sampling from a list of $(1+\varepsilon) \cdot deg(v)$ arbitrary colors, or even only $deg(v)+1$ colors when the lists are the sets $\{1,\ldots,deg(v)+1\}$. Similar to previous work, our new palette sparsification results naturally lead to a host of new and/or improved algorithms for vertex coloring in different models including streaming and sublinear-time algorithms.

研究动机与目标

• 将调色板稀疏化框架从 $(\Delta+1)$ 着色设置扩展至可用颜色数量显著多于或少于 $\Delta+1$ 的情形。
• 分析 $(1+\varepsilon)\Delta$ 着色的稀疏化阈值，证明仅需每个顶点采样 $O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$ 种颜色即可实现高概率合法着色。
• 为三角形自由图开发定制化的调色板稀疏化定理，此类图是 $O(\Delta / \ln \Delta)$-可着色的，证明每个顶点采样 $O(\Delta^\gamma + \sqrt{\log n})$ 种颜色即足够。
• 建立局部调色板稀疏化结果，其中每个顶点使用与其度数成比例的颜色列表，证明当每个顶点的列表大小为 $(1+\varepsilon)\cdot \deg(v)$ 或 $\deg(v)+1$ 时，每个顶点采样 $O_\varepsilon(\log n)$ 种颜色即足以实现高概率合法着色。
• 基于新稀疏化结果，推导出图着色问题的新次线性和流式算法，改进了以往工作在空间复杂度和查询复杂度方面的表现。

提出的方法

• 通过概率分析与集中不等式，证明从 $(1+\varepsilon)\Delta$ 调色板中每个顶点采样 $O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$ 种颜色，即可以高概率实现合法着色。
• 利用已知的色数界 ($O(\Delta / \ln \Delta)$) 分析三角形自由图的结构，并在此约束下应用稀疏化，证明 $O(\Delta^\gamma + \sqrt{\log n})$ 个采样颜色是充分的。
• 引入一种局部调色板稀疏化模型，其中每个顶点 $v$ 从大小约为 $\deg(v)$ 的列表中采样，证明每个顶点采样 $O_\varepsilon(\log n)$ 种颜色即可在高概率下实现合法着色。
• 通过将顶点随机划分为 $k$ 个集合，降低最大度数与邻域密度，从而实现具有有界调色板大小的递归着色。
• 利用切尔诺夫不等式与联合界控制随机划分后邻域中的边数与诱导子图中的度数。
• 通过将稀疏化与已知的次线性算法框架结合，推导出算法实现，从而在流式与查询模型中实现更优的空间与查询复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 为确保以高概率实现 $(1+\varepsilon)\Delta$ 着色，每个顶点最少需要采样多少种颜色？
• RQ2 调色板稀疏化能否有效扩展至色数显著低于 $\Delta+1$ 的图，如三角形自由图？
• RQ3 当每个顶点的列表大小为 $O(\deg(v))$ 时，是否存在一种调色板稀疏化定理，使得每个顶点的采样数量为次对数级？
• RQ4 能否利用新稀疏化定理设计出在流式或查询模型中更优的图着色次线性算法？
• RQ5 在稀疏邻域或三角形自由图中，每个顶点的采样颜色数与色数之间存在何种权衡？

主要发现

• 对于 $(1+\varepsilon)\Delta$ 着色，每个顶点采样 $O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$ 种颜色，既充分也必要，可实现高概率合法着色。
• 对于 $O(\Delta / \ln \Delta)$-可着色的三角形自由图，每个顶点采样 $O(\Delta^\gamma + \sqrt{\log n})$ 种颜色，既充分也必要，可实现高概率 $O(\Delta^\gamma / \ln \Delta)$ 着色。
• 在局部列表着色模型中，当每个顶点从大小为 $(1+\varepsilon)\cdot \deg(v)$ 的列表中采样时，每个顶点采样 $O_\varepsilon(\log n)$ 种颜色即足以实现高概率合法着色。
• 对于每个顶点恰好拥有 $\deg(v)+1$ 种颜色的特殊情况（如 $\{1, \dots, \deg(v)+1\}$），每个顶点采样 $O_\varepsilon(\log n)$ 种颜色，仍可确保以高概率实现合法着色。
• 新稀疏化定理导出了一种随机化单遍流式算法，空间复杂度为 $\widetilde{O}(n/\delta)$，适用于 $δ$-稀疏邻域图的 $O(\Delta / \ln(1/\delta))$ 着色。
• 获得一种非自适应查询算法，其查询次数为 $\widetilde{O}(n^{3/2}/\delta)$，运行时间为 $\widetilde{O}(n^{3/2} \cdot \text{poly}(1/\delta))$，适用于同一类图。