[论文解读] Parabolic subgroups of Artin groups of FC type

Rose Morris-Wright|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文将关于有限类型Artin群中抛物子群的结果推广到FC类型Artin群，证明两个有限类型抛物子群的交仍是有限类型抛物子群。文章为FC类型Artin群构造了一个抛物子群复形，证明其在温和条件下具有无限直径，并猜想该复形是$δ$-双曲的，从而为Artin群的分层双曲结构铺平道路。

ABSTRACT

Parabolic subgroups are the building blocks of Artin groups. This paper extends previous results, known only for parabolic subgroups of finite type Artin groups, to parabolic subgroups of FC type Artin groups. We show that the class of finite type parabolic subgroups is closed under intersection. We also study an analog of the curve complex for mapping class group constructed using parabolic subgroups. We extend the construction of the complex of parabolic subgroups to FC type Artin groups. We show that this simplicial complex is, in most cases, infinite diameter and conjecture that it is $δ-$hyperbolic.

研究动机与目标

• 将有限类型Artin群中抛物子群的已知结果推广至更广泛的FC类型Artin群类别。
• 证明在FC类型Artin群中，两个有限类型抛物子群的交本身仍是有限类型抛物子群。
• 将抛物子群复形的构造扩展至FC类型Artin群，并确立其连通性与无限直径性质。
• 猜想抛物子群复形是$δ$-双曲的，从而为Artin群提供一种分层双曲结构。

提出的方法

• 基于Deligne复形的几何技术，该复形对FC类型Artin群是CAT(0)的，用于分析抛物子群的结构。
• 应用Artin群元素在Deligne复形上的作用，研究测地轴沿线的超平面交叉情况。
• 从一个抛物动点元素的轴构造测地多边形，并通过比较超平面交点来推导正规化子假设中的矛盾。
• 使用一个技术性引理（引理4.2）来定义抛物子群复形中顶点的邻接条件。
• 利用抛物子群被其正规化子稳定这一事实，以及非平凡元素固定的超平面必须被群作用保持的性质。
• 应用CAT(0)几何证明：若过多超平面交叉被抛物子群固定的测地线段，则与抛物动点元素的构造产生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在FC类型Artin群中，有限类型抛物子群的类是否对交集封闭？
• RQ2 能否为FC类型Artin群构造抛物子群复形，其拓扑性质如何？
• RQ3 对于不可约的FC类型Artin群，其抛物子群复形是否具有无限直径？
• RQ4 抛物子群复形是否为$δ$-双曲的？若是，它能否支持一种分层双曲结构？

主要发现

• 在任意FC类型Artin群中，任意两个有限类型抛物子群的交本身仍是有限类型抛物子群。
• 对于不可约的FC类型Artin群，其抛物子群复形连通当且仅当其定义图$Γ$连通且至少有三个顶点。
• 对于不可约的FC类型Artin群，若其定义图不是连通和且至少有两个顶点，则其抛物子群复形具有无限直径。
• 本文构造了一个抛物动点元素$g$，其幂$g^n$在正规化子的生成集中的词长超过$m$，与假设$n_i$正规化一个抛物子群矛盾。
• 矛盾源于：被抛物子群固定的测地线段上，若连续有$2k$个超平面交叉，则这些超平面必须被该子群固定，从而违反了$g$的构造。
• 作者猜想，对于所有不可约的非循环FC类型Artin群，其抛物子群复形是$δ$-双曲的，这将支持一种分层双曲结构。