[论文解读] Paracontrolled quasilinear SPDEs

Marco Furlan, Massimiliano Gubinelli|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文提出一种非线性拟微分控制微积分方法，用于重正化拟线性随机偏微分方程，例如带有乘法空间-时间白噪声的抛物型安德森模型。通过使用抛积分解非线性项，并引入参数模板解，该方法在霍尔德空间中建立了正则化解的几乎必然收敛性，得到一个明确定义的极限，从而解决了由低正则性噪声引起的奇异性。

ABSTRACT

We introduce a non-linear paracontrolled calculus and use it to renormalise a class of singular SPDEs including certain quasilinear variants of the periodic two dimensional parabolic Anderson model.

研究动机与目标

• 开发一种用于重正化高度不规则噪声（如空间-时间白噪声）的拟线性随机偏微分方程的框架。
• 解决由于噪声和非线性项正则性不足而导致经典解理论失效的问题。
• 将拟微分控制微积分扩展至扩散系数依赖于解本身的拟线性情形。
• 在抛物霍尔德空间中建立正则化解几乎必然收敛到明确定义极限的结论。
• 将该方法推广至向量值方程及超越白噪声的各种噪声结构。

提出的方法

• 基于博尼的抛积分解，提出一种基于非线性拟微分控制微积分的方法，以处理拟线性SPDE中的奇异项。
• 将非线性项分解为 $ \partial_t u - a(u) \prec \Delta u = \xi + \Phi(u) $，其中 $ \prec $ 表示抛积，$ \Phi(u) $ 捕获共振贡献。
• 使用具有常系数 $ \eta_1, \eta_2 $ 的参数模板问题来建模解的结构，并定义拟微分控制试探解 $ u = \Pi_{\prec\prec}(a(u), \vartheta) + u^\sharp $。
• 应用三重换位估计与抛积有界性估计，控制 $ \mathscr{C}^\alpha $ 空间中非线性项的正则性。
• 使用时间平滑抛积与比较引理，处理时间正则性，并确保在抛物霍尔德范数下的收敛性。
• 通过添加重正化抵消项 $ \sigma_\varepsilon \frac{a'(u_\varepsilon)}{a(u_\varepsilon)^2} $ 证明正则化解 $ u_\varepsilon $ 的收敛性，该抵消项可抵消 $ \varepsilon \to 0 $ 时的发散项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将拟微分控制微积分方法扩展至扩散系数依赖于解本身的拟线性SPDE？
• RQ2 当非线性项在分布意义下无定义时，如何对具有空间-时间白噪声的拟线性SPDE进行重正化？
• RQ3 为确保正则化解在霍尔德空间中收敛到极限，所需的正确重正化抵消项是什么？
• RQ4 该拟微分控制方法能否推广至具有非恒定、非退化系数及一般噪声结构的方程？
• RQ5 当噪声具有抛物正则性 $ \rho > -4/3 $ 时，解在抛物霍尔德空间中的正则性如何？

主要发现

• 拟线性SPDE的解 $ u $ 几乎必然属于抛物霍尔德空间 $ \mathscr{L}_T^\alpha(\mathbb{T}^2) = C([0,T], \mathscr{C}^\alpha(\mathbb{T}^2)) \cap C^{\alpha/2}([0,T], \mathscr{C}^0(\mathbb{T}^2)) $，其中 $ \alpha \in (2/3, 1) $。
• 在添加重正化抵消项 $ \sigma_\varepsilon \frac{a'(u_\varepsilon)}{a(u_\varepsilon)^2} $ 后，正则化解 $ u_\varepsilon $ 几乎必然收敛到极限 $ u $，当 $ \varepsilon \to 0 $ 时。
• 极限 $ u $ 满足一个拟微分控制的奇异SPDE，其特征为分解式 $ u = \Pi_{\prec\prec}(a(u), \vartheta) + u^\sharp $，其中 $ u^\sharp $ 满足一个标准PDE。
• 证明了共振项 $ a(u) \circ \Delta u $ 的正则性为 $ 2\alpha - 2 $，优于噪声 $ \xi \in \mathscr{C}^{\alpha-2} $，从而可通过拟微分控制技术实现控制。
• 该方法适用于广泛的一类方程，包括向量值系统及具有抛物正则性 $ \rho > -4/3 $ 的噪声，不限于空间白噪声。
• 该理论具有鲁棒性，可自然推广至形如 $ a_1(u)\partial_t u - a_2(u)\Delta u = \xi(a_3(u), t, x) $ 的方程，其中系数为一般光滑非退化函数。