[论文解读] Parity of the Langlands parameters of conjugate self-dual representations of GL(n) and the local Jacquet-Langlands correspondence

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过局部 Jacquet-Langlands 对应，利用在除法代数 D× 上构造显式自同构 τ 并分析其诱导表示的奇偶性，确定了 p-adic 域 F 上 GL(n) 的共轭自对称超临界表示的 Langlands 参数的奇偶性。作者证明了 GL(n,F) 中 π 的 Langlands 参数的奇偶性为 (−1)ⁿ⁻¹ 倍于 JL(π) 的奇偶性，将 Prasad 与 Ramakrishnan 的自对称结果推广至共轭自对称情形。

ABSTRACT

We determine the parity of the Langlands parameter of a conjugate self-dual supercuspidal representation of GL(n) over a non-archimedean local field by means of the local Jacquet-Langlands correspondence. It gives a partial generalization of a previous result on the self-dual case by Prasad and Ramakrishnan.

研究动机与目标

• 将 Prasad 与 Ramakrishnan 关于自对称表示的结果推广至共轭自对称情形。
• 利用局部 Jacquet-Langlands 对应，确定 GL(n,F) 上共轭自对称超临界表示的 Langlands 参数奇偶性。
• 在 D× 上构造一个显式自同构 τ，其提升 F/F⁺ 上的伽罗瓦作用，并使得 D× 上的共轭自对称性与奇偶性得以定义。
• 建立 GL(n,F) 中 π 的 Langlands 参数奇偶性与 JL(π) ∈ D× 奇偶性之间的精确公式。
• 将主定理应用于简单超临界表示，特别在内插提升的背景下计算奇偶性。

提出的方法

• 作者利用非交换 Lubin-Tate 理论，在 Lubin-Tate 上升的 ℓ-进 étale 上同调中实现局部 Langlands 对应与 Jacquet-Langlands 对应。
• 他们构造了一个自同构 τ: D× → D×，其扩展了 F/F⁺ 上的伽罗瓦作用，并满足 τ²(d) = tdt⁻¹（t ∈ D× 固定），从而在 D× 上定义了共轭自对称性。
• 通过使用 D× 的紧开子群 H 上的特征 ψ，定义 D× 表示的奇偶性为 (H, Ψ⁻¹) 与 (H^τ, Ψ^τ) 之间的交织算子。
• 关键技术工具是引理 2.6，其计算奇偶性为特定元素 z ∈ D× 的特征值 Ψ(z)，该元素 z 由交织数据构造而成。
• 证明基于 F/F⁺ 的分歧性与除法代数 D 的结构进行分类讨论，区分无分歧、分歧与分裂三种情形。
• 作者将主结果应用于简单超临界表示，通过特征值与基域扩张结构显式计算奇偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p-adic 域 F 上，GL(n,F) 的共轭自对称超临界表示的 Langlands 参数奇偶性是什么？
• RQ2 局部 Jacquet-Langlands 对应如何关联 π ∈ GL(n,F) 的 Langlands 参数奇偶性与 JL(π) ∈ D× 的奇偶性？
• RQ3 在局部 Jacquet-Langlands 对应下，Langlands 参数的奇偶性能否仅从 JL(π) 的表示论数据中确定？
• RQ4 在共轭自对称情形下，C_rec_F(π) 与 C_JL(π) 之间的显式公式是什么？
• RQ5 Langlands 参数的奇偶性如何决定 π 的来源（如基变更或内插提升）？

主要发现

• GL(n,F) 上共轭自对称超临界表示 π 的 Langlands 参数奇偶性为 C_rec_F(π) = (−1)ⁿ⁻¹ C_JL(π)，其中 C_JL(π) 为 JL(π) 在 D× 上的奇偶性。
• 对于无分歧二次扩张 F/F⁺ 且 ϖ ∈ F⁺ 的情形，rec_F(π) 的奇偶性为 χ(ε)c，其中 ε 满足 ε^{q′−1} = −1，χ 为 π 的中心特征标。
• 对于分歧二次扩张且 τ(ϖ) = −ϖ 且 p ≠ 2 的情形，rec_F(π) 的奇偶性为 1（若 χ 平凡）或 −1（若 χ 非平凡）。
• 在分裂情形 F = F⁺ 下，rec_F(π) 的奇偶性为 −1（若 χ 平凡）或 1（若 χ 非平凡），反映出正交型与辛型之间的对偶性。
• 对于 GL(2n,F) 上的自对称简单超临界表示，Langlands 参数为辛型当且仅当中心特征标平凡，确认了内插提升结果的关键输入。