[论文解读] Partially wrapped Fukaya categories of simplicial skeleta

Ludmil Katzarkov, Gabriel Kerr|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文为具有单纯复形模型的奇异拉格朗日子空间的精确辛流形引入了一类新的部分包裹弗勒里范畴构造。通过在这些范畴与非完备射影空间上的凝聚层导出范畴之间建立同调镜像对称等价关系——例如仿射和拟射影的环面簇——该研究为非紧致和非射影情形提供了弗勒里理论镜像，将同调镜像对称推广至非完备情形。

ABSTRACT

A class of partially wrapped Fukaya categories in $T^* N$ are proven to be well defined and then studied. In the case of $N$ diffeomorphic to $\mathbb{R}^m imes \mathbb{T}^n$, it is shown that these categories provide homological mirrors to equivariant and non-equivariant categories of coherent sheaves on toric varieties. This gives a new Floer theoretic formulation of mirror symmetry in the non-complete case.

研究动机与目标

• 为具有奇异拉格朗日子空间的精确辛流形定义并严格构造部分包裹弗勒里范畴。
• 在这些辛范畴与非紧致环面簇上的凝聚层导出范畴之间建立同调镜像对称等价关系。
• 将镜像对称扩展至非完备或非射影情形，包括仿射和拟射影环面簇。
• 通过单一构造为GIT商及其分量提供统一的辛框架镜像。
• 证明即使在不存在朗道-金兹堡模型的情况下，部分包裹弗勒里范畴仍能捕捉凝聚层的导出范畴。

提出的方法

• 通过哈密顿量对动能函数进行光滑扰动，定义部分包裹弗勒里范畴，放宽对 properness 的要求。
• 利用度量梯度收缩 π:M→Z，定义在奇异骨架 Z 的光滑点上的拉格朗日纤维。
• 通过单纯复形 K 的组合结构表征奇异点附近的局部范畴 W(K)。
• 将全局范畴 W_H^Z(M) 构造为基于局部范畴 W(K) 的余层在 Z 上的整体截面。
• 通过在 T*ℝ^n 中实现镜像骨架，并利用 ℤ^n 作用提升至 T*𝕋^n，将构造应用于环面簇。
• 使用 K-单性范畴与扭曲复形识别镜像态射，包括非平凡锥体与精确科什乌复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有奇异拉格朗日子空间的非紧致辛流形严格定义部分包裹弗勒里范畴？
• RQ2 该范畴是否能作为非射影环面簇上凝聚层导出范畴的同调镜像？
• RQ3 当不存在朗道-金兹堡模型时，镜像对称等价关系是否仍适用于仿射和拟射影环面簇？
• RQ4 骨架 Z 上的余层结构如何从局部数据编码全局辛范畴？
• RQ5 K-单性范畴与扭曲复形在实现镜像态射（如 f[1]）中起什么作用？

主要发现

• 在指定几何与哈密顿条件之下，具有单纯拉格朗日子空间的流形上，部分包裹弗勒里范畴 W_H^Z(M) 是良好定义的。
• 对于 N ≅ ℝ^m × 𝕋^n，范畴 W_H^Z(U_Σ) 同构于 D^b(X_Σ)，证明了非完备环面簇的同调镜像对称。
• ℂ²∖{0} 的镜像通过 T*ℝ² 中的骨架 L_K（含三个分支）实现，其部分包裹范畴同构于局部等变导出范畴 D^eq_loc(ℂ²∖{0})。
• 等变范畴 D^eq(ℂ²∖{0}) 的镜像由 T*ℝ² 中的 ℤ²-不变骨架 L_K_eq 实现，范畴 W(K_eq) 同构于 D^eq(ℂ²∖{0})。
• 普通导出范畴 D(ℂ²∖{0}) 的镜像由 T*𝕋² 中的商 π(L_K) 实现，范畴 W_𝕋(K) 同构于 D(ℂ²∖{0})。
• 镜像范畴中态射 f[1] 的存在性，可通过 D_∅, D_{1}, D_{2}, D_{1,2} 上科什乌复形的精确性从代数上解释。