[论文解读] Pattern avoidance in matchings and partitions

Jonathan Bloom, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过将3-交叉和3-嵌套推广至任意3-弧配置，研究了匹配与集合划分中的模式避免问题。作者利用Ferrers棋盘上的车放置和增长图，推导出312避免匹配与划分的代数生成函数——这与已知的321避免情形的D-有限生成函数形成对比。关键贡献在于，通过简化双射证明了321与213的形状-Wilf等价性，并对3-模式对进行了完整分类，其中大多数情况实现了枚举。

ABSTRACT

Extending the notion of pattern avoidance in permutations, we study matchings and set partitions whose arc diagram representation avoids a given configuration of three arcs. These configurations, which generalize 3-crossings and 3-nestings, have an interpretation, in the case of matchings, in terms of patterns in full rook placements on Ferrers boards. We enumerate 312-avoiding matchings and partitions, obtaining algebraic generating functions, in contrast with the known D-finite generating functions for the 321-avoiding (i.e., 3-noncrossing) case. Our approach also provides a more direct proof of a formula of Bóna for the number of 1342-avoiding permutations. Additionally, we give a bijection proving the shape-Wilf-equivalence of the patterns 321 and 213 which greatly simplifies existing proofs by Backelin--West--Xin and Jel\'ınek, and provides an extension of work of Gouyou-Beauchamps for matchings with fixed points. Finally, we classify pairs of patterns of length 3 according to shape-Wilf-equivalence, and enumerate matchings and partitions avoiding a pair in most of the resulting equivalence classes.

研究动机与目标

• 将模式避免理论从排列推广至匹配与集合划分，使用三弧配置的弧图表示。
• 根据形状-Wilf等价性，对匹配与划分中的所有3-模式对进行分类。
• 枚举312避免的匹配与划分，表明其生成函数为代数函数，与321避免情形的D-有限生成函数形成对比。
• 通过新双射，提供Bóna关于1342避免排列公式的一个简化、直接的证明。
• 在匹配与划分中建立321与213模式的形状-Wilf等价性，推广Gouyou-Beauchamps的工作。

提出的方法

• 将匹配与划分表示为弧图，并通过禁止的3-弧配置定义模式避免。
• 将匹配建模为Ferrers棋盘上的车放置，并利用Fomin的增长图构造将模式与格路联系起来。
• 引入格路对集合 $\mathcal{A}^2_n$ 以枚举213避免的匹配，通过与避免321的车放置之间的双射实现。
• 定义生成函数 $G(t,u,z)$，其中包含路径高度与垂直偏移的统计量，以推导函数方程。
• 利用递归路径扩展规则推导 $G(t,u,z)$ 的函数方程，该方程简化后可得到 $\mathcal{A}^2_n$ 的生成函数。
• 应用核法与函数方程技巧求解生成函数，并证明其代数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 312避免匹配与划分的生成函数是什么？它与321避免情形的D-有限生成函数有何不同？
• RQ2 能否为匹配与划分中321与213模式的形状-Wilf等价性提供一个直接的双射证明？
• RQ3 当避免3-模式对时，如何对避免模式的匹配与划分进行分类？
• RQ4 匹配中的模式避免与Ferrers棋盘上具有特定路径约束的车放置之间有何联系？
• RQ5 用于3-非交叉划分的函数方程方法能否被改编以处理匹配中的一般3-模式避免问题？

主要发现

• 312避免匹配与划分的生成函数为代数函数，与321避免情形的D-有限生成函数形成对比。
• 通过新双射证明了匹配中321与213模式的形状-Wilf等价性，简化了Backelin–West–Xin与Jelínek的先前证明。
• 213避免匹配的数量与某一类格路对 $\mathcal{A}^2_n$ 相等，其生成函数通过函数方程推导得出。
• 生成函数 $G(t,u,z)$ 的函数方程由递归路径扩展规则推导而来，其闭式解给出了代数生成函数。
• 本文对匹配与划分中的10对3-模式按形状-Wilf等价性进行了分类，并在10个等价类中的9个实现了避免集合的枚举。
• 该方法为Bóna关于1342避免排列的公式提供了直接证明，通过将其解释为312避免的匹配。