[论文解读] Pattern avoidance is not P-recursive

Scott Garrabrant, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

semigroups and automata theory参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文通过证明在 $S_{80}$ 中存在一个有限的排列模式集合，使得避免这些模式的排列数不是 P-递归的，从而否定了 Noonan–Zeilberger 猜想。证明利用可计算性理论将双栈自动机嵌入到模式避免问题中，表明此类排列数模 2 的序列与一个非 P-递归自动机的接受路径数相匹配。

ABSTRACT

Let $F \subset S_k$ be a finite set of permutations and let $C_n(F)$ denote the number of permutations $σ$ in $S_n$ avoiding the set of patterns $F$. The Noonan-Zeilberger conjecture states that the sequence ${C_n(F)}$ is P-recursive. We use Computability Theory to disprove this conjecture.

研究动机与目标

• 为否定长期存在的 Noonan–Zeilberger 猜想，该猜想认为所有模式避免序列都是 P-递归的。
• 确立计数模式避免排列的复杂度可以超出 P-递归序列的界限。
• 证明关于排列模式集合的 Wilf-等价性模 2 问题是不可判定的。
• 在标准复杂度假设下，表明某些模式避免序列无法在多项式时间内计算。

提出的方法

• 构造一个双栈自动机，其在输入长度的算术级数上的接受路径数是非 P-递归的。
• 通过组合构造，将此类自动机的路径计数问题嵌入到排列模式避免问题中。
• 利用主引理表明，对于无穷多个 $n$，避免特定模式集合 $\mathcal{F} \subset S_{80}$ 的排列数等于模 2 的接受路径数。
• 利用先前工作 [GP1] 中关于线性群中非 P-递归序列的结果，转移不可判定性与复杂度结果。
• 应用该嵌入，表明判断 Wilf-等价性模 2 是不可判定的。
• 在复杂度理论假设（例如 $\text{EXP} \neq \oplus\text{EXP}$）下，证明存在某些模式集合，其避免序列不具备多项式时间可计算性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Noonan–Zeilberger 猜想——即所有模式避免序列都是 P-递归的——对所有有限排列模式集合是否成立？
• RQ2 避免给定模式集合的排列数是否可能不满足任何具有多项式系数的线性递推关系？
• RQ3 判断两个模式集合是否在模 2 意义下 Wilf-等价的问题是否可判定？
• RQ4 是否存在一个有限的排列模式集合，使得避免这些模式的排列数无法在多项式时间内计算？

主要发现

• Noonan–Zeilberger 猜想是错误的：存在一个有限集合 $\mathcal{F} \subset S_{80}$，使得 $\{C_n(\mathcal{F})\}$ 不是 P-递归的。
• 该证明构造了一个双栈自动机，其接受路径数是非 P-递归的，并通过模等价关系将其嵌入到模式避免问题中。
• 判断是否对所有 $n$ 都有 $C_n(\mathcal{F}_1) \equiv C_n(\mathcal{F}_2) \pmod{2}$ 的问题是不可判定的。
• 在假设 $\text{EXP} \neq \oplus\text{EXP}$ 的前提下，存在一个有限模式集合 $\mathcal{F}$，使得 $\{C_n(\mathcal{F})\}$ 无法在 $n$ 的多项式时间内计算。
• 该构造表明，对于此类 $\mathcal{F}$，$\{C_n(\mathcal{F})\}$ 的生成函数不一定是 D-有限的（即非超几何的）。
• 该结果为 Wilf 关于是否存在一类自然的组合计数问题，其公式无法在多项式时间内计算，给出了否定答案。