[论文解读] Penalized Barycenters in the Wasserstein Space

Jérémie Bigot, Elsa Cazelles+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文提出一种凸惩罚正则化方法，用于对 $\mathbb{R}^d$ 上的随机概率测度的 Wasserstein 平均进行正则化，确保其存在性和唯一性，同时实现稳定的估计。该文建立了经验平均到其总体对应物的收敛性，即使数据为离散或从未知分布中采样，也能提供一致的估计器。

ABSTRACT

In this paper, a regularization of Wasserstein barycenters for random measures supported on $\mathbb{R}^{d}$ is introduced via convex penalization. The existence and uniqueness of such barycenters is first proved for a large class of penalization functions. The Bregman divergence associated to the penalization term is then considered to obtain a stability result on penalized barycenters. This allows the comparison of data made of $n$ absolutely continuous probability measures, within the more realistic setting where one only has access to a dataset of random variables sampled from unknown distributions. The convergence of the penalized empirical barycenter of a set of $n$ iid random probability measures towards its population counterpart is finally analyzed. This approach is shown to be appropriate for the statistical analysis of either discrete or absolutely continuous random measures. It also allows to construct, from a set of discrete measures, consistent estimators of population Wasserstein barycenters that are absolutely continuous.

研究动机与目标

• 解决随机测度 Wasserstein 平均的不稳定性和唯一性缺失问题。
• 开发一种正则化框架，确保在一般惩罚函数下平均的存 在性和唯一性。
• 即使测度为离散或从未知分布中采样，也能实现从经验数据对总体平均的一致估计。
• 建立经验平均向其总体水平对应物的理论收敛性。
• 通过惩罚方法，从离散输入测度构造绝对连续的估计器。

提出的方法

• 通过测度空间上的凸惩罚正则化来处理 Wasserstein 平均。
• 利用与惩罚函数相关的 Bregman 散度推导稳定性界。
• 将惩罚平均形式化为 Wasserstein 空间中的最小化问题。
• 分析从 $n$ 个独立同分布的随机概率测度中导出的经验平均的收敛性。
• 应用泛函中心极限定理和弱收敛技术，建立渐近行为。
• 通过惩罚方法，从离散输入测度构造一致且绝对连续的估计器。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，惩罚 Wasserstein 平均存在且唯一？
• RQ2 惩罚项的 Bregman 散度如何影响平均的稳定性？
• RQ3 当数据从未知分布中采样时，经验平均能否一致估计总体平均？
• RQ4 是否能够从离散输入测度构造绝对连续的平均估计器？
• RQ5 随着样本量增加，惩罚经验平均的渐近行为如何？

主要发现

• 对于一大类凸惩罚函数，惩罚平均存在且唯一。
• 通过与惩罚项相关的 Bregman 散度，可保证平均的稳定性。
• 随着采样测度数量的增加，经验平均以几乎必然收敛于总体平均。
• 即使输入测度为离散，该方法仍能提供总体平均的一致估计器。
• 即使输入数据为离散，所得平均估计器仍为绝对连续。
• 该方法适用于 $\mathbb{R}^d$ 中的离散和绝对连续随机测度。