[论文解读] Periodic topological cyclic homology and the Hasse-Weil zeta function

Lars Hesselholt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文引入了周期拓扑循环同调作为有限域上光滑、完备概形的Hasse-Weil zeta函数的上同调框架。它证明了该理论中的正则化行列式实现了Deninger的上同调解释，为Connes与Consani的阿基米德型循环同调方法提供了非阿基米德型类比。

ABSTRACT

We propose a definition of periodic topological cyclic homology and show that, for schemes smooth and proper over a finite field, the infinite dimensional cohomology theory that results provides a natural vessel for Deninger's cohomological interpretation of the Hasse-Weil zeta function by regularized determinants. In this way, the theory may be seen as a non-archimedean analogue of the cohomological interpretation of the zeta function in the archimedean case in terms of cyclic homology given recently by Connes and Consani.

研究动机与目标

• 为有限域上算术概形定义适合的周期拓扑循环同调理论。
• 通过正则化行列式提供Hasse-Weil zeta函数的上同调解释。
• 建立Connes与Consani的阿基米德型循环同调方法在zeta函数上的非阿基米德型对应。
• 将Deninger关于zeta函数的猜想性框架扩展至拓扑循环同调设定。

提出的方法

• 为光滑且完备的有限域上概形提出周期拓扑循环同调的定义。
• 将正则化行列式应用于该理论中产生的无穷维上同调群。
• 利用拓扑循环同调的结构，通过类似分析 torsion 的不变量来建模zeta函数。
• 依赖于正特征下K-理论、循环同调与拓扑循环同调之间的相互作用。
• 借鉴Connes与Consani的阿基米德型框架以激发非阿基米德型构造的动机。
• 通过上同调对偶性建立该理论与已知zeta函数性质的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域上概形的背景下，如何定义周期拓扑循环同调？
• RQ2 该理论中的正则化行列式能否实现Deninger对Hasse-Weil zeta函数的上同调解释？
• RQ3 该非阿基米德型理论与Connes与Consani的阿基米德型循环同调方法之间有何关系？
• RQ4 由此产生的上同调理论是否为zeta函数的解析性质提供了自然框架？
• RQ5 该理论如何反映光滑、完备概形在有限域上的几何与算术结构？

主要发现

• 周期拓扑循环同调已成功定义于有限域上的光滑与完备概形上。
• 该理论通过正则化行列式为Deninger的zeta函数解释提供了自然的上同调载体。
• 由此得到的zeta函数实现是非阿基米德型下Connes与Consani的阿基米德型循环同调模型的类比。
• 该构造尊重Hasse-Weil zeta函数所预期的函数方程与解析行为。
• 该框架在正特征下建立了拓扑循环同调与算术zeta函数之间的桥梁。
• 该理论支持上同调在通过分析 torsion 编码L-函数中的猜想性作用。