[论文解读] Permutation polynomials induced from permutations of subfields, and some complete sets of mutually orthogonal latin squares

Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用 18

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过子域 $fiQ$ 上的置换，构造有限域 $fiq$ 上的置换多项式，其中 $q = Q^m$。通过利用范数映射以及对指数和系数多项式的条件限制，作者生成了新的置换多项式家族，包括完全置换多项式，并利用它们构造了完全互正交拉丁方（MOLS）集合，解决了 Wu 和 Lin（2013）提出的一个开放问题，并简化了近期结果的证明。

ABSTRACT

We present a general technique for obtaining permutation polynomials over a finite field from permutations of a subfield. By applying this technique to the simplest classes of permutation polynomials on the subfield, we obtain several new families of permutation polynomials. Some of these have the additional property that both f(x) and f(x)+x induce permutations of the field, which has combinatorial consequences. We use some of our permutation polynomials to exhibit complete sets of mutually orthogonal latin squares. In addition, we solve the open problem from a recent paper by Wu and Lin, and we give simpler proofs of much more general versions of the results in two other recent papers.

研究动机与目标

• 开发一种通用技术，从子域 $fiQ$ 上已知的置换多项式生成有限域 $fiq$ 上的置换多项式。
• 构造新的完全置换多项式家族，其中 $f(x)$ 和 $f(x)+x$ 均在 $fiq$ 上置换。
• 将这些多项式应用于构造完全互正交拉丁方（MOLS）集合。
• 解决 Wu 和 Lin 提出的关于 $fi{2^{2^e}}$ 上完全置换多项式的开放问题。
• 为近期关于置换多项式和 MOLS 的结果提供更简单、更通用的证明。

提出的方法

• 使用定理 1.1：当且仅当 $∼(r, (q-1)/(Q-1)) = 1$ 且 $g(x) = x^r N(h(x))$ 在 $fiQ$ 上置换时，多项式 $x^r h(x^{(q-1)/(Q-1)})$ 在 $fiq$ 上置换，其中 $N$ 是从 $fiq$ 到 $fiQ$ 的范数映射。
• 当 $h(x) \in \ufb01Q[x]$ 时应用推论 1.2，将问题简化为检查 $x^r h(x)^m$ 是否在 $fiQ$ 上置换。
• 当 $m \equiv 1 \pmod{Q-1}$ 时使用推论 1.3，将条件简化为：若 $mn \equiv 1 \pmod{Q-1}$，则 $x^{rn} h(x)$ 在 $fiQ$ 上置换。
• 通过确保 $f(x)$ 和 $f(x)+x$ 均为置换多项式，利用新构造的家族生成完全置换多项式。
• 通过对应关系生成 MOLS：一个置换多项式 $f$ 定义一个拉丁方，其元素为 $i + f(j)$，且若 $f - g$ 是置换，则对应拉丁方正交。
• 利用关于 MOLS 和射影平面的已知结果，表明特定构造多项式家族可产生 $Q^2 - 1$ 或 $Q^3 - 1$ 个完全 MOLS。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地从子域 $fiQ$ 上的置换多项式构造 $fiq$ 上的置换多项式？
• RQ2 当 $q = Q^m$ 时，$x^r h(x^{(q-1)/(Q-1)})$ 在什么条件下在 $fiq$ 上置换？
• RQ3 该新构造能否产生完全置换多项式，使得 $f(x)$ 和 $f(x)+x$ 均为置换？
• RQ4 能否利用这些多项式生成完全互正交拉丁方（MOLS）集合？
• RQ5 该方法能否简化或推广近期关于置换多项式和 MOLS 的结果？

主要发现

• 本文通过子域 $fiQ$ 上的置换多项式，利用范数条件 $g(x) = x^r N(h(x))$，在 $fi{Q^m}$ 上构造了新的置换多项式家族。
• 当 $h(x) \in \ufb01Q[x]$ 时，该构造简化为检查 $x^r h(x)^m$ 是否在 $fiQ$ 上置换，从而实现系统的生成。
• 该方法在 $fi{2^{2^e}}$ 上生成了完全置换多项式，解决了 Wu 和 Lin（2013）提出的开放问题。
• 作者在 $Q \not\equiv 1 \pmod{3}$ 时构造了 $Q^2 - 1$ 个阶为 $Q^2$ 的完全 MOLS 集合，在 $Q$ 为 2 的幂时构造了 $Q^3 - 1$ 个阶为 $Q^3$ 的完全 MOLS 集合。
• 结果推广并简化了 Tu 等人（2013）和 Xu 等人（2014）近期定理的证明，表明这些定理是所提框架的特例。
• 该方法未涵盖 [12, Thm. 4]，其依赖于加法群方法，提示可能存在一类不同于乘法范数方法的置换多项式。