[论文解读] Pfaffian Stochastic Dynamics of Strict Partitions

Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 66被引用 3

一句话总结

本文引入了一类在严格分拆（distinct parts）上的连续时间马尔可夫跳跃过程，其保持Borodin的行列式测度。通过使用普瓦松相关函数与超几何函数，推导出静态与动态相关核的显式公式，建立了一类新颖的平稳普瓦松动力系统，与以往的行列式模型不同。

ABSTRACT

We study a family of continuous time Markov jump processes on strict partitions (partitions with distinct parts) preserving the distributions introduced by Borodin (1997) in connection with projective representations of the infinite symmetric group. The one-dimensional distributions of the processes (i.e., the Borodin's measures) have determinantal structure. We express the dynamical correlation functions of the processes in terms of certain Pfaffians and give explicit formulas for both the static and dynamical correlation kernels using the Gauss hypergeometric function. Moreover, we are able to express our correlation kernels (both static and dynamical) through those of the z-measures on partitions obtained previously by Borodin and Olshanski in a series of papers. The results about the fixed time case were announced in the author's note arXiv:1002.2714. A part of the present paper contains proofs of those results.

研究动机与目标

• 构建在严格分拆上的连续时间马尔可夫跳跃过程，使其保持Borodin的概率测度。
• 以普瓦松行列式形式推导动态相关函数的显式公式。
• 使用高斯超几何函数表达静态与动态相关核。
• 通过秩一扰动结构将新核与z-测度的核联系起来。
• 在随机分拆的背景下，首次建立平稳普瓦松随机动力系统的例子。

提出的方法

• 利用Borodin的测度在严格分拆上的共轭性质，类似于Borodin-Olshanski动力系统中的情形。
• 将状态空间建模为正整数上的有限点配置，其动力系统保持该测度族。
• 将动态相关函数表示为核函数 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,x;t,y)$ 的普瓦松行列式，其中涉及高斯超几何函数。
• 通过引入一个对合与一个严格正函数 $f$，提出一种新颖的约化技术，将普瓦松结构简化为行列式。
• 将静态核 $\mathbf{K}_{\alpha,\xi}(x,y)$ 表示为 $\ell^2(\mathbb{Z})$ 中投影算子的秩一扰动。
• 应用 $SL(2,\mathbb{C})^n$-作用的变换，将斜对称的普瓦松矩阵转化为适合行列式约化的分块形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在严格分拆上构造一个平稳马尔可夫过程，使其保持Borodin的测度并表现出普瓦松相关结构？
• RQ2 此类过程的动态相关函数与如z-测度等行列式模型中的相关函数有何不同？
• RQ3 控制时空相关性的扩展核 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,x;t,y)$ 的显式形式是什么？
• RQ4 静态普瓦松核与z-测度的已知行列式核有何关系？
• RQ5 普瓦松结构能否通过适当的变换约化为行列式形式？其成立的条件是什么？

主要发现

• 该马尔可夫过程的动态相关函数可表示为核 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,x;t,y)$ 的普瓦松行列式，其显式形式由高斯超几何函数给出。
• 静态相关函数可约化为行列式形式，其中核 $\mathbf{K}_{\alpha,\xi}(x,y)$ 是 $\mathbb{Z}_{>0}$ 上的显式超几何型函数。
• 静态核 $\mathbf{K}_{\alpha,\xi}$ 不是投影算子，这使其与z-测度核相区别。
• 在 $\ell^2\left(\mathbb{Z}\right)$ 上，扩展核 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,\cdot;s,\cdot)$ 是一个正交投影算子的秩一扰动。
• 通过涉及一个对合与一个严格正函数 $f$ 的变换，将普瓦松核约化为行列式，所得核 $K(u,v)$ 由包含 $F(u,\hat{v})$ 与 $f(u)$ 的有理表达式给出。
• 该模型在随机分拆的背景下，首次提供了平稳（时间齐次）普瓦松随机动力系统的例子，与以往的时间非齐次模型形成鲜明对比。