[论文解读] Pfaffian structures and certain solutions to BKP hierarchies II. Multiple integrals

A. Yu. Orlov, Takahiro Shiota+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文引入了'简易tau函数'作为多重积分与分拆上的求和，确立其作为大BKP层级及混合小-大BKP层级解的角色。通过费米子方法与普瓦松行列式结构，将其与随机矩阵理论中的正交、辛及圆型系综联系起来，表明多重积分可作为耦合常数的博雷尔可求和级数，明确关联于舒尔函数与投影舒尔函数，以及矩阵模型的划分函数。

ABSTRACT

We introduce a useful and rather simple classes of BKP tau functions which which we shall shall call "easy tau functions". We consider the "large BKP hiearchy" related to $O(2\infty +1)$ which was introduced in \cite{KvdLbispec} (which is closely related to the DKP $O(2\infty) $hierarchy introduced in \cite{JM}). Actually "easy tau functions" of the small BKP was already considered in \cite{HLO}, here we are more interested in the large BKP and also the mixed small-large BKP tau functions \cite{KvdLbispec}. Tau functions under consideration are equal to sums over partitions and to multi-integrals. In this way they may be appliciable in models of random partitions and models of random matrices. Here in the part II we consider multi-intergals and series of $N$-ply integrals in $N$. Relations to matrix models is explained. This paper may be viewed as a developement of the the paper by J.van de Leur \cite{L1} related to orthogonal and symplectic ensembles of random matrices.

研究动机与目标

• 通过基于多重积分与分拆求和的'简易tau函数'，扩展BKP层级可解解的类。
• 在正交与辛随机矩阵系综的背景下，建立轮廓上多重积分与BKP tau函数之间的直接对应关系。
• 证明多重积分可被解释为矩阵模型中耦合常数的渐近级数的博雷尔求和。
• 利用普瓦松行列式结构，在BKP tau函数框架下统一描述正交、辛与圆型β-系综。
• 通过模式展开提供多重积分的费米子形式化，实现从积分表示系统推导tau函数。

提出的方法

• 利用费米子 Fock 空间形式化，将tau函数表示为含创建与湮灭算符的真空期望值。
• 在N重乘积的轮廓γ×N或复域上定义多重积分，积分测度dµ(z, t*)依赖于高阶BKP时间t*。
• 通过斜对称核A(z,w)与函数a(z)引入普瓦松行列式结构，将¯A(z)定义为斜对称矩阵˜A的普瓦松行列式。
• 应用费米子模式展开ψ(x) = ∑ₙ ψₙxⁿ，将积分转化为级数，从而识别多重积分与博雷尔可求和级数的对应关系。
• 利用普瓦松行列式与行列式恒等式，推导出圆型β=1,2,4系综的划分函数的显式表达式，作为BKP tau函数。
• 通过变量变换与包含杰克对称函数的生成函数，建立复β-系综与BKP tau函数之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将轮廓上的多重积分识别为BKP层级的解？
• RQ2 普瓦松行列式结构在表征正交与辛随机矩阵系综的tau函数中起什么作用？
• RQ3 在矩阵模型中，多重积分如何作为耦合常数的微扰级数的博雷尔求和？
• RQ4 费米子模式展开如何在BKP tau函数的背景下将积分与分拆上的求和联系起来？
• RQ5 能否利用普瓦松行列式与行列式恒等式，将圆型β-系综（β=1,2,4）的划分函数表示为BKP tau函数？

主要发现

• 圆型β=2系综的划分函数被识别为BKP tau函数，其表达式为含指数生成函数的矩阵行列式。
• β=1（正交）系综的划分函数通过由核A(z,w)与函数a(z)构造的斜对称矩阵的普瓦松行列式表示为BKP tau函数。
• 对于β=4（辛）系综，划分函数通过涉及修正测度dµ₄(z,t*)的平方普瓦松行列式结构表示为BKP tau函数。
• 本文确立了轮廓上多重积分γ×N等价于耦合常数的博雷尔可求和级数，其中积分充当该级数的博雷尔变换。
• 推导出杰克对称函数生成函数的显式表达式，表明∫⋯∫ ∆ₙ(z)⁴ ∏ᵢ dµ₄(zi,t*) = ∑λ e⁻F⁽¹ᐟ²⁾λ J⁽¹ᐟ²⁾λ(t)J⁽¹ᐟ²⁾λ(¯t)。
• 在大N极限下，复β-系综划分函数Z(β)ₙ被证明收敛于BKP tau函数τ(α)(t,t*,¯t)，变量间存在精确对应关系：tⱼ = (1/j)√(2/β)∑ₙ zⱼₙ。