[论文解读] Physical Realizability and Mean Square Performance of Translation Invariant Networks of Interacting Linear Quantum Stochastic Systems

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Quantum optics and atomic interactions参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过系统参数的矩阵代数约束，建立了在一维或高维晶格上具有最近邻相互作用的平移不变线性量子随机系统网络的物理可实现性条件。利用空间傅里叶变换和Grenander-Szegő定理，在热力学极限下推导出每个晶胞的均方性能泛函，从而实现对大规模量子超材料和开放量子谐振子的分析。

ABSTRACT

This paper is concerned with translation invariant networks of linear quantum stochastic systems with nearest neighbour interaction mediated by boson fields. The systems are associated with sites of a one-dimensional chain or a multidimensional lattice and are governed by coupled linear quantum stochastic differential equations (QSDEs). Such interconnections of open quantum systems are relevant, for example, to the phonon theory of crystalline solids, atom trapping in optical lattices and quantum metamaterials. In order to represent a large-scale open quantum harmonic oscillator, the coefficients of the coupled QSDEs must satisfy certain physical realizability conditions. These are established in the form of matrix algebraic equations for the parameters of an individual building block of the network and its interaction with the neighbours and external fields. We also discuss the computation of mean square performance functionals with block Toeplitz weighting matrices for such systems in the thermodynamic limit per site for unboundedly increasing fragments of the lattice.

研究动机与目标

• 建立大规模相互作用线性量子随机系统网络在晶格上的物理可实现性条件。
• 在热力学极限下分析具有块托普利茨加权矩阵的均方性能泛函。
• 将相干量子线性二次高斯控制理论扩展至平移不变量子网络。
• 实现对量子超材料和量子网络的去中心化CQLQG控制器设计。
• 通过耦合量子随机微分方程，形式化周期性阵列中开放量子谐振子的动力学。

提出的方法

• 使用耦合的线性量子随机微分方程（QSDEs）建模晶格上具有最近邻相互作用的开放量子谐振子。
• 对QSDEs应用空间傅里叶变换，将系统转换到由环面参数化的空间频率域，适用于多维晶格。
• 通过确保在幺正演化下保持正则对易关系，推导出物理可实现性的矩阵代数条件。
• 引入反映平移不变性的块托普利茨加权矩阵，以计算均方性能泛函。
• 应用循环采样定理和Grenander-Szegő极限定理，计算热力学极限下每个晶胞的稳态性能。
• 在晶格有限片段上使用周期性边界条件以模拟无限系统，并推导基于谱密度的性能度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种矩阵代数条件可确保晶格上平移不变线性量子随机系统网络的物理可实现性？
• RQ2 如何在热力学极限下计算此类网络具有块托普利茨权重的均方性能泛函？
• RQ3 空间傅里叶变换在分析大规模量子网络的动力学与稳定性中起何种作用？
• RQ4 系统传递函数的谱特性如何与热力学极限下的性能相关联？
• RQ5 在无限增长的晶格片段中，是否可以独立于晶格尺寸计算每个晶胞的性能？

主要发现

• 物理可实现性由单个单元块及其最近邻相互作用的哈密顿量、耦合和散射参数的矩阵代数约束所保证。
• 在热力学极限下，每个晶胞的均方性能泛函收敛至有限值，通过在环面上对谱密度应用Grenander-Szegő极限定理计算得出。
• 空间傅里叶变换将晶格系统简化为由空间频率参数化的解耦系统族，从而实现频域分析。
• 所得性能度量对大尺寸晶格片段独立于晶格大小，验证了热力学极限近似的适用性。
• 该方法通过提供可扩展的性能度量，实现了对量子网络去中心化CQLQG控制器的设计。
• 推导出的条件可推广至多维晶格，其中边界条件有所修改，传递函数矩阵定义在双变量环面上。