[论文解读] Plates with incompatible prestrain of higher order

Marta Lewicka, A. Raoult+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Advanced Materials and Mechanics参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文建立了具有高阶非相容预应变的薄板的缩放弹性能量的 $γ$-极限，表明在 $E^h \sim h^4$ 的参数范围内，极限能量为 von Kármán 型，其依赖于一阶无穷小等距变换以及将预应变度量 $G_{2\times 2}$ 等距嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的容许应变。此外，本文证明若 $h^{-2}\inf E^h \to 0$，则 $h^{-4}\inf E^h$ 有界，且 $h^{-4}\inf E^h \to 0$ 当且仅当 $G$ 可实现，这意味着对所有 $h$ 有 $\min E^h = 0$。这表明 von Kármán 模型是该缩放范围内的唯一非平凡残余理论。

ABSTRACT

We study the effective elastic behaviour of the incompatibly prestrained thin plates, characterized by a Riemann metric $G$ on the reference configuration. We assume that the prestrain is "weak", i.e. it induces scaling of the incompatible elastic energy $E^h$ of order less than $h^2$ in terms of the plate's thickness $h$. We essentially prove two results. First, we establish the $Γ$-limit of the scaled energies $h^{-4}E^h$ and show that it consists of a von Kármán-like energy, given in terms of the first order infinitesimal isometries and of the admissible strains on the surface isometrically immersing $G_{2 imes 2}$ (i.e. the prestrain metric on the midplate) in $\mathbb{R}^3$. Second, we prove that in the scaling regime $E^h\sim h^β$ with $β>2$, there is no other limiting theory: if $\inf h^{-2} E^h o 0$ then $\inf E^h\leq Ch^4$, and if $\inf h^{-4}E^h o 0$ then $G$ is realizable and hence $\min E^h = 0$ for every $h$.

研究动机与目标

• 表征具有高阶非相容预应变的薄板的有效弹性行为，特别是当弹性能量缩放为 $E^h \sim h^4$ 时。
• 建立缩放能量 $h^{-4}E^h$ 的 $γ$-极限，并识别其结构为 von Kármán 型泛函。
• 确定能量缩放低于 $h^4$ 的必要与充分条件，表明 $h^{-4}\inf E^h \to 0$ 当且仅当预应变度量 $G$ 可在 $\mathbb{R}^3$ 中实现。
• 证明在 $\inf h^{-2}E^h \to 0$ 的条件下，对于 $E^h \sim h^\beta$ 且 $\beta > 2$ 的情形，除了 von Kármán 模型外不存在其他极限理论。

提出的方法

• 使用 $γ$-收敛推导当 $h \to 0$ 时缩放能量 $h^{-4}E^h$ 的极限。
• 利用预应变度量 $G_{2\times 2}$ 的黎曼曲率张量推导 $E^h$ 的下界，以表征非相容性。
• 通过单位分解构造恢复序列，并通过 $SO(3)$ 中的旋转场和应变场局部逼近变形。
• 应用投影 $\mathbb{P}_{SO(3)}$ 确保旋转场保持在 $SO(3)$ 内，从而保持变形梯度的正交性。
• 使用半径为 $h$ 和 $2h$ 的球体进行覆盖论证，以局部化估计并控制旋转场梯度的 $L^2$-范数。
• 通过加权 $L^2$-范数和 Poincaré 型不等式，估计用局部平均构成的旋转场近似变形梯度时的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当能量缩放为 $E^h \sim h^4$ 时，具有非相容预应变的薄板的极限弹性能量是什么？
• RQ2 在什么条件下缩放能量 $h^{-4}E^h$ 收敛于零，这又对预应变度量 $G$ 意味着什么？
• RQ3 von Kármán 模型是否是 $E^h \sim h^\beta$ 且 $\beta > 2$ 时唯一的非平凡极限理论？
• RQ4 预应变度量 $G$ 的曲率如何影响弹性能量的缩放以及非平凡极限的存在性？
• RQ5 在 $\mathbb{R}^3$ 中预应变不可实现的情况下，能量是否仍可缩放至 $h^4$ 以下？

主要发现

• $h^{-4}E^h$ 的 $γ$-极限是一个 von Kármán 型能量泛函，其依赖于一阶无穷小等距变换以及将 $G_{2\times 2}$ 等距嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的容许应变。
• 若 $\inf h^{-2}E^h \to 0$，则 $h^{-4}\inf E^h$ 有界，意味着 $E^h \sim h^4$ 是最小的非平凡缩放。
• 若 $h^{-4}\inf E^h \to 0$，则预应变度量 $G$ 可在 $\mathbb{R}^3$ 中实现，且对所有 $h$ 有 $\min E^h = 0$。
• 反之，若 $G$ 不可实现，则 $\inf h^{-4}E^h > 0$，故存在 $C > 0$ 使得 $E^h \geq Ch^4$，且 von Kármán 模型是唯一的非平凡极限。
• 在 $\inf h^{-2}E^h \to 0$ 的条件下，对于 $E^h \sim h^\beta$ 且 $\beta > 2$ 的情形，除了 von Kármán 模型外不存在其他极限理论，这与欧几里得情形中多种缩放产生不同模型的情况形成对比。
• 度量 $G$ 的曲率张量决定了非相容性，而截面曲率（包括和不包括薄方向）同时趋于零的特性刻画了两种缩放范围。