[论文解读] Pointwise convergence of some multiple ergodic averages

Sebastián Donoso, Wenbo Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过使用sated和magic扩展以及拓扑模型，建立了在遍历系统中具有交换变换的多重遍历平均的逐点收敛性。证明了在立方配置和对角化多重平均下，几乎处处收敛，将先前结果扩展至可 distal 系统，并通过遍历自结合测度提供了 $L^2$-极限的表征框架。

ABSTRACT

We show that for every ergodic system $(X,μ,T_1,\ldots,T_d)$ with commuting transformations, the average \[\frac{1}{N^{d+1}} \sum_{0\leq n_1,\ldots,n_d \leq N-1} \sum_{0\leq n\leq N-1} f_1(T_1^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x)f_2(T_2^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x)\cdots f_d(T_d^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x). \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o\infty$. If $X$ is distal, we prove that the average \[\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N} f_1(T_1^nx)f_2(T_2^nx)\cdots f_d(T_d^nx) \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o\infty$. We also establish the pointwise convergence of averages along cubical configurations arising from a system commuting transformations. Our methods combine the existence of sated and magic extensions introduced by Austin and Host respectively with ideas on topological models by Huang, Shao and Ye.

研究动机与目标

• 在具有交换变换的遍历系统中，建立多重遍历平均的逐点收敛性。
• 将已知的 $L^2$ 收敛结果扩展至逐点收敛，特别是针对立方和对角配置。
• 通过遍历自结合测度 $\mu_x^F$ 表征多重平均的 $L^2$-极限。
• 通过等距扩展和Furstenberg-Zimmer结构定理，证明distal系统中的逐点收敛性。
• 统一拓扑动力系统、sated扩展和magic扩展的技术，用于收敛性分析。

提出的方法

• 使用Austin和Host引入的sated和magic扩展，通过扩展提升收敛性质。
• 应用Huang、Shao和Ye的拓扑模型，分析极小系统中的收敛性。
• 利用 $Y^{[d]}$ 上自结合测度 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$ 的遍历分解，分析立方平均。
• 利用Furstenberg-Ryzhikov自结合测度 $\mu^F_x$ 描述多重平均的 $L^2$-极限。
• 应用Jensen不等式和分离筛法，证明分解中测度的唯一性和遍历性。
• 对交换变换的数量进行归纳，通过等距扩展将问题约化为 $i-1$ 个变换的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有交换变换的遍历系统中，平均 $\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n_1,\ldots,n_d,n=0}^{N-1} \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n \prod_{k=1}^d T_k^{n_k} x)$ 是否对 $\mu$-a.e. $x\in X$ 几乎处处逐点收敛？
• RQ2 能否通过遍历自结合测度 $\mu_x^F$ 表征 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n x)$ 的 $L^2$-极限？
• RQ3 在具有交换变换的distal系统中，平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$ 是否对 $\mu$-a.e. $x\in X$ 几乎处处逐点收敛？
• RQ4 能否通过Furstenberg-Zimmer结构定理，利用等距扩展将多重平均的逐点收敛性提升？
• RQ5 在 $Y^{[d]}$ 上，$d$ 重自结合 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$ 的遍历分解是否满足每个纤维测度关于面变换 $\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1$ 是magic的？

主要发现

• 在具有交换变换的遍历系统中，对 $\mu$-a.e. $x\in X$，平均 $\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n_1,\ldots,n_d,n=0}^{N-1} \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n \prod_{k=1}^d T_k^{n_k} x)$ 沿 $N\to\infty$ 几乎处处收敛。
• 对 $\mu$-a.e. $x\in X$，$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$ 的 $L^2$-极限等于 $\int f_1\otimes\cdots\otimes f_d \,d\mu_x^F$，其中 $\mu_x^F$ 是一个遍历自结合测度。
• 在distal系统中，平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$ 沿 $N\to\infty$ 几乎处处逐点收敛。
• 在 $Y^{[d]}$ 上，自结合测度 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$ 的遍历分解 $\nu_{T_1,\ldots,T_d} = \int \nu_{\vec{x}} \,d\nu_{T_1,\ldots,T_d}(\vec{x})$ 几乎处处满足 $\nu_{\vec{x}}$ 关于 $\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1$ 是magic的。
• 系统 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$ 是magic的，即对所有 $k\in\mathbb{N}$，有 $\|f_k - \mathbb{E}_{\nu_{\vec{x}}}(f_k \mid \bigvee_{i=1}^d \mathcal{I}_{\mathcal{F}_i^1})\|_{\nu_{\vec{x}},\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1} = 0$。
• 证明依赖于通过等距扩展和Furstenberg-Zimmer结构定理提升收敛性，而这一提升由自结合测度 $\mu_x^F$ 的遍历性所支持。