[论文解读] Strictly ergodic models and the convergence of non-conventional pointwise ergodic averages

Wen Huang, Song Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文建立了严格遍历模型的存在性，适用于遍历系统，并保留了关键的动力学结构——特别是面群和平行多面体群作用下的轨道闭包——从而为非典型多重遍历平均的逐点收敛提供了新证明。关键贡献在于对 Jewett-Krieger 定理的强化版本，该版本在高阶结构上施加了拓扑极小性和唯一遍历性条件，直接蕴含了形如 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m\in[0,N-1]}\prod_{i=1}^d f_i(T^{n+(i-1)m}x)$ 的平均的 a.e. 收敛性。

ABSTRACT

The well-known Jewett-Krieger's Theorem states that each ergodic system has a strictly ergodic model. Strengthening the model by requiring that it is strictly ergodic under some group actions, and building the connection of the new model with the convergence of pointwise non-conventional ergodic averages we prove that for an ergodic system $(X,\X,μ, T)$, $d\in\N$, $f_1, \ldots, f_d \in L^{\infty}(μ)$, %and any tempered F{ m $ø$}lner sequence $F_n$ of $\Z^2$, the averages \begin{equation*} \frac{1}{N^2} \sum_{(n,m)\in F_N} f_1(T^nx)f_2(T^{n+m}x)\ldots f_d(T^{n+(d-1)m}x) \end{equation*} converge $μ$ a.e. We remark that the same method can be used to show the pointwise convergence of ergodic averages along cubes which was firstly proved by Assani and then extended to a general case by Chu and Franzikinakis.

研究动机与目标

• 通过构造严格遍历模型，将 Jewett-Krieger 定理推广，使其保留高阶动力学结构（如面群轨道闭包和平行多面体集）上的唯一遍历性。
• 建立具有强极小性和唯一遍历性属性的拓扑模型与非典型多重遍历平均逐点收敛性之间的联系。
• 利用拓扑模型理论，为遍历理论中沿立方体和线性模式的平均的 a.e. 收敛性提供新证明。

提出的方法

• 为任意遍历测度保持系统 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ 构造一个严格遍历的拓扑模型 $(\hat{X}, T)$，确保对所有 $x \in \hat{X}$，在面群作用下的轨道闭包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ 是严格遍历的。
• 证明在平行多面体群 $\mathcal{G}^{[d]}$ 作用下，模型中的动力学平行多面体集 ${\bf Q}^{[d]}(\hat{X})$ 是严格遍历的。
• 在模型中建立在群 $\langle \tau_d, \sigma_d \rangle$ 作用下的轨道闭包 $N_d(\hat{X})$ 是严格遍历的，其中 $\tau_d = T \times \cdots \times T$ 且 $\sigma_d = T \times \cdots \times T^d$。
• 利用这些高阶结构的唯一遍历性，通过测度的分解和不变因子映射，推导出非典型平均的逐点 a.e. 收敛性。
• 应用该模型，推导出平均极限测度的显式公式，例如 $N^2$-平均情况下的 $\lambda_{\tau,\sigma;d}$。
• 利用动力学平行多面体和面群作用的结构，将收敛性问题约化为相关轨道闭包的唯一遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意遍历系统构造一个严格遍历的拓扑模型，使得对所有 $x$，$x^{[d]}$ 在面群 $\mathcal{F}^{[d]}$ 作用下的轨道闭包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ 是严格遍历的？
• RQ2 是否存在一个严格遍历模型，使得在群 $\mathcal{G}^{[d]}$ 作用下，动力学平行多面体集 ${\bf Q}^{[d]}(\hat{X})$ 是严格遍历的？
• RQ3 能否在遍历系统的拓扑模型中使在群 $\langle \tau_d, \sigma_d \rangle$ 作用下的轨道闭包 $N_d(\hat{X})$ 成为严格遍历的？
• RQ4 这些高阶结构的唯一遍历性如何蕴含非典型多重遍历平均的逐点 a.e. 收敛性？
• RQ5 平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m\in[0,N-1]}\prod_{i=1}^d f_i(T^{n+(i-1)m}x)$ 的极限测度在模型中的显式形式是什么？

主要发现

• 本文证明了每个遍历系统都存在一个严格遍历的拓扑模型，使得在面群作用下，对所有 $x \in \hat{X}$，轨道闭包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ 是严格遍历的，从而扩展了 Jewett-Krieger 定理。
• 本文建立了每个遍历系统都存在一个严格遍历模型，使得在群 $\mathcal{G}^{[d]}$ 作用下，动力学平行多面体集 ${\bf Q}^{[d]}(\hat{X})$ 是严格遍历的。
• 本文证明了存在一个严格遍历模型，使得在群 $\langle \tau_d, \sigma_d \rangle$ 作用下，轨道闭包 $N_d(\hat{X})$ 是严格遍历的，且极限测度为 $\lambda_{\tau,\sigma;d}$。
• 作为在 $N_d(\hat{X})$ 上具有唯一遍历性的严格遍历模型的推论，平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m\in[0,N-1]}\prod_{i=1}^d f_i(T^{n+(i-1)m}x)$ 的逐点 a.e. 收敛性得以确立，其极限为 $\int_{N_d(\hat{X})} \bigotimes f_i \, d\lambda_{\tau,\sigma;d}$。
• 对于弱混合系统，动力学平行多面体上的唯一测度是乘积测度，从而简化了极限表达式。
• 本文提供了一种通用方法，通过拓扑模型的结构和在 Kronecker 因子上的测度分解，计算非典型平均的极限测度。