[论文解读] Pointwise recurrence for commuting measure preserving transformations

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文建立了在概率空间上，对于交换的保测度变换，非典型遍历平均的几乎处处逐点收敛性。通过基于动力系统模型和不变测度的创新方法，证明了形如 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\prod_{i=1}^{H}f_i(T_i^n x)$ 的平均值对有界函数 $f_i$ 几乎处处收敛，解决了遍历理论中长期悬而未决的难题，并以不同于特征因子或一致 Wiener-Wintner 估计的方法，给出了 J. Bourgain 双重递归定理的全新证明。

ABSTRACT

Let $(X,\mathcal{A}, μ)$ be a probability measure space and let $T_i,$ $1\leq i\leq H,$ be commuting invertible measure preserving transformations on this measure space. We prove the following pointwise results; The averages $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T_1^nx)f_2(T_2^nx)\cdots f_H(T_H^nx)$$ converge a.e. for every function $f_i \in L^{\infty}(μ)$ .\\ As a consequence if $T_i = T^i$ for $1\leq i \leq H$ where $T$ is an invertible measure preserving transformation on $(X, \mathcal{A}, μ)$ then the averages $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^nx)f_2(T^{2n}x)...f_H(T^{Hn}x)$$ converge a.e. This solves a long open question on the pointwise convergence of nonconventional ergodic averages. For $H=2$ it provides another proof of J. Bourgain's a.e. double recurrence theorem.

研究动机与目标

• 建立涉及多个交换保测度变换的非典型遍历平均的几乎处处逐点收敛性。
• 解决关于形如 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_1(T^{n}x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$ 的平均值的逐点收敛性长期悬而未决的开放问题。
• 通过与特征因子或一致 Wiener-Wintner 估计不同的方法，为 J. Bourgain 的几乎处处双重递归定理提供新的证明。
• 通过分解技术，将收敛结果从自由作用推广到一般的交换保测度系统。

提出的方法

• 利用 B. Weiss 的同构定理构造动力系统模型，将原始保测度系统表示为紧致可度量空间上的最小自由 $\mathbb{Z}^H$-作用。
• 在 $X^H$ 上引入一个概率测度 $\nu$，其定义为变换 $\Phi(z) = (T_1 z_1, \dots, T_H z_H)$ 的迭代下对对角测度 $\mu_\Delta$ 的加权推前测度的和。
• 应用最大遍历定理和最大不等式，证明对于 $F = \otimes f_i$，平均值 $M_N(F)(z) = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N F(\Phi^k z)$ 在 $\nu$-几乎处处收敛。
• 利用同构关系，将 $\nu$-几乎处处收敛结果回传至原始测度空间，利用 $\nu$-零测集也是 $\mu_\Delta$-零测集的性质。
• 通过将空间分解为周期集与非周期集，将收敛性从自由作用推广至一般的交换系统。
• 将结果应用于 $T_i = T^i$ 的情形，重新获得 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^n x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$ 几乎处处收敛的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于交换保测度变换，非典型遍历平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_H(T_H^n x)$ 是否几乎处处收敛？
• RQ2 该方法能否用于证明指数中含高阶多项式时平均的逐点收敛性？
• RQ3 该结果是否可推广至非自由作用或含周期分量的系统？
• RQ4 该方法能否被调整以证明涉及此类平均的遍历 Hilbert 变换的收敛性？

主要发现

• 当 $T_i$ 为交换、可逆、保测度变换时，对所有 $f_i \in L^\infty(\mu)$，平均值 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \prod_{i=1}^H f_i(T_i^n x)$ 几乎处处收敛。
• 即使由 $T_i$ 生成的作用非自由，该结果依然成立，方法是将空间分解为周期部分与非周期部分，并在每个部分上应用收敛结果。
• 在特殊情形 $T_i = T^i$ 下，$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^n x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$ 几乎处处收敛的结论得以确立，解决了遍历理论中长期悬而未决的问题。
• 该方法为 J. Bourgain 的几乎处处双重递归定理提供了不依赖于特征因子或一致 Wiener-Wintner 估计的替代证明。
• 平均值的收敛性首先在 $X^H$ 上的测度 $\nu$ 下证明，然后通过测度同构关系转移至对角测度 $\mu_\Delta$。
• 该结果可推广至变换生成幂零群的系统，如 M. Walsh 和 T. Austin 的相关工作中所示，但当前方法不直接适用于 $n^2$ 等多项式序列。