[论文解读] Polynomial Degree and Lower Bounds in Quantum Complexity: Collision and Element Distinctness with Small Range

Andris Ambainis|ArXiv.org|May 29, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文证明了任意对称布尔函数 $ f: \{1,\ldots,N\} \to \{1,\ldots,M\} $ 的多项式次数在所有 $ M \geq N $ 时保持不变，从而可将通过多项式法在大 $ M $ 情况下证明的量子查询下界推广至小范围情形 $ M = N $。作为关键结果，该文证明了碰撞问题和元素互异性问题的量子查询下界分别为 $ \Omega(N^{1/3}) $ 和 $ \Omega(N^{2/3}) $，即使范围大小仅为 $ N $ 时也成立，解决了该领域长期存在的关于量子算法最优性的问题。

ABSTRACT

We give a general method for proving quantum lower bounds for problems with small range. Namely, we show that, for any symmetric problem defined on functions $f:\{1, ..., N\} o\{1, ..., M\}$, its polynomial degree is the same for all $M\geq N$. Therefore, if we have a quantum lower bound for some (possibly, quite large) range $M$ which is shown using polynomials method, we immediately get the same lower bound for all ranges $M\geq N$. In particular, we get $Ω(N^{1/3})$ and $Ω(N^{2/3})$ quantum lower bounds for collision and element distinctness with small range.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：当范围大小 $ M = N $ 时，大范围下通过多项式法证明的碰撞和元素互异性问题的量子查询下界是否依然成立。
• 建立一个通用原则：任意对称性质 $ \phi $ 在函数 $ f: [N] \to [M] $ 上的多项式次数在 $ M \geq N $ 时与 $ M $ 无关。
• 实现从大 $ M $ 到小 $ M $（特别是 $ M = N $）的已知量子下界转移，这些下界是通过多项式法推导得出的。
• 通过证明其多项式次数为 $ \Omega(N^{2/3}) $，强化了两层 AND-OR 树的已知下界。

提出的方法

• 引入对称函数 $ f: [N] \to [M] $ 的新多项式表示方法，使用变量 $ z_1, \ldots, z_M $，其中 $ z_i $ 表示映射到值 $ i $ 的输入数量。
• 通过证明对称函数的结构允许在范围大小变化时保持多项式次数不变，从而证明对称性质 $ \phi $ 的多项式次数在所有 $ M \geq N $ 时相同。
• 应用多项式法，通过将大 $ M $ 情况下的已知下界进行约化，证明当 $ M = N $ 时，元素互异性函数的多项式次数为 $ \Omega(N^{2/3}) $。
• 利用多项式次数与量子查询复杂度之间的等价性（基于 Beals 等人和 Aaronson 的结果），将多项式次数下界转化为量子查询下界。
• 构建从元素互异性问题到两层 AND-OR 树的映射，证明前者多项式次数的下界可推出后者具有 $ \Omega(N^{2/3}) $ 的多项式次数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当范围大小 $ M $ 等于 $ N $ 时，碰撞问题的 $ \Omega(N^{1/3}) $ 量子查询下界是否仍然成立？
• RQ2 当 $ M = N $ 时，大范围下元素互异性问题的 $ \Omega(N^{2/3}) $ 量子查询下界是否仍然成立？
• RQ3 在 $ M \geq N $ 的前提下，对称函数 $ \phi $ 在 $ f: [N] \to [M] $ 上的多项式次数是否对 $ M $ 的变化保持不变？
• RQ4 两层 AND-OR 树函数在 $ N^2 $ 个变量上的多项式次数是多少？是否超过了此前已知的 $ \Omega(\sqrt{N \log N}) $ 下界？

主要发现

• 任意对称性质 $ \phi $ 在函数 $ f: [N] \to [M] $ 上的多项式次数在所有 $ M \geq N $ 时保持不变，从而实现了不同范围大小之间的下界转移。
• 即使 $ M = N $，碰撞问题仍需要 $ \Omega(N^{1/3}) $ 次量子查询，解决了小范围情形下量子算法最优性问题的长期开放疑问。
• 即使 $ M = N $，元素互异性问题仍需要 $ \Omega(N^{2/3}) $ 次量子查询，与目前已知的最佳量子算法一致，确认了其在此设定下的最优性。
• 两层 AND-OR 树在 $ N^2 $ 个变量上的多项式次数为 $ \Omega(N^{2/3}) $，优于此前的 $ \Omega(\sqrt{N \log N}) $ 下界。
• 该结果推广了多项式法在量子下界研究中的适用范围，使得针对大 $ M $ 的已知下界可直接应用于 $ M = N $ 的情形。