[论文解读] The quantum query complexity of approximating the median and related statistics

Ashwin Nayak, Felix Wu|ArXiv.org|Apr 29, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文確立了在包含 n 個數字的序列中近似計算中位數及其相關統計量的量子查詢複雜度。利用多項式方法，證明了計算 ε-近似中位數所需的查詢次數下界為 Ω(min{1/ε, n})，並提出了一種量子演算法，實現了 O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε)) 次查詢，展示了該問題及其相關任務（如近似計算第 k 小元素與平均值）的近乎最優性。

ABSTRACT

Let X = (x_0,...,x_{n-1})$ be a sequence of n numbers. For ε> 0, we say that x_i is an ε-approximate median if the number of elements strictly less than x_i, and the number of elements strictly greater than x_i are each less than (1+ε)n/2. We consider the quantum query complexity of computing an ε-approximate median, given the sequence X as an oracle. We prove a lower bound of Ω(\min{{1/ε},n}) queries for any quantum algorithm that computes an ε-approximate median with any constant probability greater than 1/2. We also show how an ε-approximate median may be computed with O({1/ε}\log({1\/ε}) \log\log({1/ε})) oracle queries, which represents an improvement over an earlier algorithm due to Grover. Thus, the lower bound we obtain is essentially optimal. The upper and the lower bound both hold in the comparison tree model as well. Our lower bound result is an application of the polynomial paradigm recently introduced to quantum complexity theory by Beals et al. The main ingredient in the proof is a polynomial degree lower bound for real multilinear polynomials that ``approximate'' symmetric partial boolean functions. The degree bound extends a result of Paturi and also immediately yields lower bounds for the problems of approximating the kth-smallest element, approximating the mean of a sequence of numbers, and that of approximately counting the number of ones of a boolean function. All bounds obtained come within polylogarithmic factors of the optimal (as we show by presenting algorithms where no such optimal or near optimal algorithms were known), thus demonstrating the power of the polynomial method.

研究动机与目标

• 確定在包含 n 個數字的序列中計算 ε-近似中位數的量子查詢複雜度。
• 將分析擴展至相關問題，如近似計算第 k 小元素、平均值，以及布林函數中 1 的個數。
• 利用多項式方法在量子查詢複雜度中建立緊緻的上下界。
• 展示多項式範式在證明對稱部分布林函數的最優或近乎最優界限方面的強大能力。

提出的方法

• 將多項式方法應用於對稱部分布林函數，利用逼近此類函數的實係數多重線性多項式的次數下界。
• 使用 Paturi 定理的推廣，推導出逼近對稱函數的多項式次數下界。
• 透過多項式方法框架，將多項式次數的下界轉化為量子查詢複雜度的下界。
• 利用受 Grover 搜尋啟發的量子演算法構建上界，並優化至 O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε)) 次查詢。
• 透過將問題歸約至中位數近似問題，將分析擴展至近似計算第 k 小元素與平均值等問題。
• 證明這些界限在比較樹模型與量子查詢模型中均為緊緻的。

实验结果

研究问题

• RQ1 計算 ε-近似中位數所需的最少量子查詢次數為多少，且成功機率恆定大於 1/2？
• RQ2 近似中位數的量子查詢複雜度與經典複雜度相比如何？是否可顯著改善？
• RQ3 多項式方法能否推廣以推導出近似其他對稱統計量（如第 k 小元素或平均值）的下界？
• RQ4 近似布林函數中 1 的個數的最優量子查詢複雜度為何？
• RQ5 能否以量子演算法達到中位數近似問題的下界？若可，其效率如何？

主要发现

• 證明了任何以常數成功機率大於 1/2 計算 ε-近似中位數的量子演算法，其查詢次數下界為 Ω(min{1/ε, n})。
• 實現了計算 ε-近似中位數的上界為 O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε)) 次查詢，優於 Grover 早期演算法的結果。
• 證明下界幾乎是最優的，因為上界僅相差多對數因子。
• 相同方法亦適用於近似第 k 小元素、序列平均值，以及布林函數中 1 的個數，均能獲得緊緻界限。
• 這些結果在量子查詢模型與經典比較樹模型中均成立。
• 多項式方法提供了一個統一的框架，能為多個對稱統計問題產生近乎最優的界限。