[论文解读] Polynomial growth of discrete quantum groups, topological dimension of the dual and *-regularity of the Fourier algebra

Alessandro D’Andrea, Claudia Pinzari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文建立了紧量子群的稠密霍普夫代数的Gelfand-Kirillov（GK）维数与其对偶的拓扑维数之间的联系，将Banica和Vergnioux关于单连通李群对偶多项式增长的结果推广至所有紧群。此外，论文证明了对于多项式增长的Kac型紧量子群，傅里叶代数是∗-正则的，这意味着其具有唯一的C∗-范数，并且其最大C∗-代数与傅里叶代数的素理想空间之间存在同胚关系。

ABSTRACT

Banica and Vergnioux have shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. We extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group G of Kac type implies *-regularity of the Fourier algebra A(G), that is every closed ideal of C(G) has a dense intersection with A(G). In particular, A(G) has a unique C*-norm.

研究动机与目标

• 将Banica和Vergnioux关于单连通紧李群对偶多项式增长的结果推广至所有紧群。
• 通过其稠密霍普夫代数的Gelfand-Kirillov维数，定义并研究紧量子群的拓扑维数。
• 在Kac型紧量子群中，建立多项式增长与傅里叶代数∗-正则性之间的结构联系。
• 证明∗-正则性意味着傅里叶代数上的最大C∗-范数唯一，从而推广了经典群多项式增长结果。

提出的方法

• 使用Gelfand-Kirillov（GK）维数来刻画紧量子群表示环的增长率。
• 将稠密霍普夫代数的GK维数与对偶量子群的拓扑维数联系起来。
• 应用对合巴拿赫代数与C∗-完备化的理论，分析Kac型紧量子群的傅里叶代数A(G)。
• 在多项式增长条件下，证明Cmax(G)与A(G)之间素理想空间的自然满射Ψ: Prim(Cmax(G)) → Prim(A(G))是同胚。
• 为非Kac型群构造A(G)上的∙-对合，以将∗-正则性的框架扩展至非Kac型群。
• 运用表示论技巧以及ℓ¹(Ĝ)与ℓ²(Ĝ)中的范数估计，分析傅里叶代数中元素的增长性。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧量子群的稠密霍普夫代数的Gelfand-Kirillov维数是否等于其对偶的拓扑维数？
• RQ2 Banica和Vergnioux关于单连通紧李群多项式增长的结果能否推广至所有紧群？
• RQ3 Kac型紧量子群的多项式增长是否意味着其傅里叶代数的∗-正则性？
• RQ4 当群具有多项式增长时，傅里叶代数的最大C∗-代数是否具有唯一的范数？
• RQ5 傅里叶代数上的∙-对合如何将∗-正则性推广至非Kac型量子群？

主要发现

• 紧群的稠密霍普夫代数的Gelfand-Kirillov维数等于其拓扑（勒贝格）维数，推广了Banica和Vergnioux的结果。
• 对于任意Kac型紧量子群G，若其表示环(R(G), dim)具有多项式增长，则其傅里叶代数A(G)是∗-正则的。
• 当G为Kac型且具有多项式增长时，映射Ψ: Prim(Cmax(G)) → Prim(A(G))是同胚。
• 由于∗-正则性，傅里叶代数A(G)具有唯一的C∗-范数，而这一性质在标准稠密霍普夫代数中并不成立。
• 紧量子群的拓扑维数被定义为其稠密霍普夫代数的GK维数，有限拓扑维数刻画了其对偶为有限维紧矩阵量子群的归纳极限的那些量子群。
• 对于非Kac型群，A(G)上的∙-对合作为傅里叶代数构造了对合巴拿赫代数结构，但此情形下的∗-正则性仍为开放问题。