[论文解读] Polynomial Lower Bound for Distributed Graph Coloring in a Weak LOCAL Model

Dan Hefetz, Fabian Kühn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文在一种弱化的 LOCAL 模型（SET-LOCAL）中建立了确定性分布式图着色算法运行时间的多项式下界 Ω(Δ^(1/3−η/3))，其中节点仅接收邻居消息的集合，而非单个消息。该结果适用于将 O(Δ^{1+η})-着色减少为合法着色的算法，证明通过递归邻域图分析建立该下界，为分布式着色复杂性提供了新见解。

ABSTRACT

We show an $Ω\big(Δ^{\frac{1}{3}-\fracη{3}}\big)$ lower bound on the runtime of any deterministic distributed $\mathcal{O}\big(Δ^{1+η}\big)$-graph coloring algorithm in a weak variant of the \LOCAL\ model. In particular, given a network graph \mbox{$G=(V,E)$}, in the weak \LOCAL\ model nodes communicate in synchronous rounds and they can use unbounded local computation. We assume that the nodes have no identifiers, but that instead, the computation starts with an initial valid vertex coloring. A node can extbf{broadcast} a extbf{single} message of extbf{unbounded} size to its neighbors and receives the extbf{set of messages} sent to it by its neighbors. That is, if two neighbors of a node $v\in V$ send the same message to $v$, $v$ will receive this message only a single time; without any further knowledge, $v$ cannot know whether a received message was sent by only one or more than one neighbor. Neighborhood graphs have been essential in the proof of lower bounds for distributed coloring algorithms, e.g., \cite{linial92,Kuhn2006On}. Our proof analyzes the recursive structure of the neighborhood graph of the respective model to devise an $Ω\big(Δ^{\frac{1}{3}-\fracη{3}}\big)$ lower bound on the runtime for any deterministic distributed $\mathcal{O}\big(Δ^{1+η}\big)$-graph coloring algorithm. Furthermore, we hope that the proof technique improves the understanding of neighborhood graphs in general and that it will help towards finding a lower (runtime) bound for distributed graph coloring in the standard \LOCAL\ model. Our proof technique works for one-round algorithms in the standard \LOCAL\ model and provides a simpler and more intuitive proof for an existing $Ω(Δ^2)$ lower bound.

研究动机与目标

• 在 LOCAL 模型的一种弱化变体中，建立确定性分布式图着色算法运行时间的多项式下界。
• 分析消息聚合（仅接收消息集合）对分布式系统中图着色复杂性的影响。
• 提出一种基于递归邻域图结构的新型证明技术，该技术可能推广至标准 LOCAL 模型的下界分析。
• 证明即使在本地计算能力无限制且初始着色合法的情况下，确定性着色在 SET-LOCAL 模型中仍本质上运行缓慢。

提出的方法

• 通过分析 SET-LOCAL 模型中邻域图的递归结构，推导出算法运行时间的下界。
• 采用一种节点仅接收邻居消息集合（而非单个消息）的模型，模拟邻居身份信息的丢失。
• 运用组合论证表明，某些配置无法在少于 Ω(Δ^(1/3−η/3)) 轮内解决。
• 将先前关于 Linial 算法和 Kuhn-Wattenhofer 着色简化方法的技术适配至 SET-LOCAL 环境。
• 证明即使在标准 LOCAL 模型中的一轮算法，也需 Ω(Δ²) 种颜色才能实现 d-缺陷着色，该结论可推广至缺陷着色的下界。
• 利用 Erdős 型组合结果，确保在着色选择过程中存在非冲突颜色的非空集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SET-LOCAL 模型中，确定性分布式图着色的最少运行轮数是多少？该模型中节点仅接收邻居的消息集合。
• RQ2 邻域图的递归结构能否用于推导弱通信模型中着色算法的多项式下界？
• RQ3 由于消息集合聚合导致邻居身份信息缺失，对分布式着色复杂性有何影响？
• RQ4 该证明技术是否可扩展至提供标准 LOCAL 模型中一轮算法的下界？
• RQ5 在标准 LOCAL 模型中，一轮 d-缺陷着色所需的最少颜色数是多少？

主要发现

• 该论文在 SET-LOCAL 模型中建立了任意确定性 O(Δ^{1+η})-着色算法运行时间的下界 Ω(Δ^(1/3−η/3))。
• 即使节点具有无限制的本地计算能力并从有效初始着色开始，该下界依然成立。
• 该证明技术为已知的 Ω(Δ²) 一轮着色下界在标准 LOCAL 模型中提供了更简单且更直观的推导。
• 在标准 LOCAL 模型中，若输入着色使用足够多的颜色，则一轮 d-缺陷着色需要 Ω(Δ²/(d+1)²) 种颜色。
• Kuhn-Wattenhofer 着色简化方案在 SET-LOCAL 模型中无需修改即可适用，因其仅依赖于邻居颜色集合的信息。
• Linial 的 O(log* m)-轮 O(Δ²)-着色算法在 SET-LOCAL 模型中依然有效，因其仅依赖于消息集合，而非单个消息的数量。