[论文解读] Positive and zero temperature polymer models

Nicos Georgiou|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在正温度和零温度下建立了聚合物模型的大偏差原理和大数定律。在正温度下，推导了聚合物路径和出口点的显式 quenched 率函数，在对数伽马环境中可得到可计算的结果；在零温度下，证明了具有不连续速度函数的 TASEP 的流体动力学极限，通过密度分布的变分公式展示了其收敛于标量守恒律的熵解。

ABSTRACT

We present results about large deviations and laws of large numbers for various polymer related quantities. In a completely general setting and strictly positive temperature, we present results about large deviations for directed polymers in random environment. We prove quenched large deviations (and compute the rate functions explicitly) for the exit point of the polymer chain and the polymer chain itself. We also prove existence of the upper tail large deviation rate function for the logarithm of the partition function. In the case where the environment weights have certain log-gamma distributions the computations are tractable and allow us to compute the rate function explicitly. At zero temperature, the polymer model is now called a last passage model. With a particular choice of random weights, the last passage model has an equivalent representation as a particle system called Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP). We prove a hydrodynamic limit for the macroscopic particle density and current for TASEP with spatially inhomogeneous jump rates given by a speed function that may admit discontinuities. The limiting density profiles are described with a variational formula. This formula enables us to compute explicit density profiles even though we have no information about the invariant distributions of the process. In the case of a two-phase flux for which a suitable p.d.e. theory has been developed we also observe that the limit profiles are entropy solutions of the corresponding scalar conservation law with a discontinuous speed function.

研究动机与目标

• 在正温度下建立随机环境中定向聚合物的大偏差原理。
• 在一般环境和特定（对数伽马）环境中，计算聚合物路径和出口点的显式 quenched 率函数。
• 分析零温度极限，此时聚合物模型转化为最后通过时间渗流模型。
• 推导具有空间非均匀跳跃速率、由不连续速度函数控制的 TASEP 的流体动力学极限。
• 通过变分公式表征宏观密度和电流的极限分布，即使在不了解不变测度的情况下亦可。

提出的方法

• 使用 quenched 大偏差理论，推导正温度下定向聚合物出口点和路径的率函数。
• 应用凸对偶性和下确界卷积技术，以变分公式表达率函数。
• 采用对数伽马分布作为环境权重，以实现率函数的显式计算。
• 将零温度下的最后通过时间模型转化为具有可能不连续的速度函数的 TASEP。
• 应用流体动力学极限技术，证明粒子密度和电流收敛于由变分公式定义的分布。
• 证明在双相通量情况下，极限分布满足具有不连续通量的标量守恒律的熵解条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正温度下，定向聚合物出口点和路径的 quenched 大偏差率函数是什么？
• RQ2 在正温度下，能否证明对数分区函数上尾的大偏差率函数存在？
• RQ3 在零温度下，具有不连续速度函数的 TASEP 中，宏观密度和电流分布如何出现？
• RQ4 变分公式能否在不了解不变测度的情况下描述 TASEP 的极限密度分布？
• RQ5 在双相通量情况下，极限分布是否对应于具有不连续通量的标量守恒律的熵解？

主要发现

• 利用涉及环境对数伽马分布的变分公式，显式计算了聚合物出口点的 quenched 大偏差率函数。
• 对于对数伽马分布的环境权重，聚合物路径和出口点的率函数具有可计算性，并可通过凸对偶性显式表达。
• 在正温度下，证明了对数分区函数上尾的大偏差率函数存在。
• 在零温度极限下，具有不连续速度函数的 TASEP 展现出由密度分布变分公式描述的流体动力学极限。
• 当速度函数为分段常数（双相通量）时，极限分布被证明是相应标量守恒律的熵解。
• 用于极限密度分布的变分公式使得即使在缺乏过程不变测度知识的情况下，也能显式计算分布。