[论文解读] Positive energy representations of gauge groups I: Localization

Bas Janssens, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用 4

一句话总结

本文建立了与主丛 $\Xi \to M$ 相关的紧支集规范群 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))$ 的投影正能表示的局部化定理。在类时生成元锥无不动点的条件下，此类表示均源自 $M$ 中的 1 维 $P$-不变子流形 $S$，当 $M$ 为紧致时，可完全分类为仿射 Kac–Moody 代数的最低权表示。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers on projective positive energy representations of gauge groups. Let $Ξ ightarrow M$ be a principal fiber bundle, and let $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ))$ be the group of compactly supported (local) gauge transformations. If $P$ is a group of `space-time symmetries' acting on $Ξ ightarrow M$, then a projective unitary representation of $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ)) times P$ is of positive energy if every `timelike generator' $p_0 \in \mathfrak{p}$ gives rise to a Hamiltonian $H(p_0)$ whose spectrum is bounded from below. Our main result shows that in the absence of fixed points for the cone of timelike generators, the projective positive energy representations of the connected component $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ))_0$ come from 1-dimensional $P$-orbits. For compact $M$ this yields a complete classification of the projective positive energy representations in terms of lowest weight representations of affine Kac-Moody algebras. For noncompact $M$, it yields a classification under further restrictions on the space of ground states. In the second part of this series we consider larger groups of gauge transformations, which contain also global transformations. The present results are used to localize the positive energy representations at (conformal) infinity.

研究动机与目标

• 通过统一内部对称性与时空对称性，将 Wigner–Mackey 对正能表示的分类推广至无穷维规范群。
• 对群 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi)) \rtimes P$ 的投影酉正能表示进行分类，其中 $P$ 在主丛 $\Xi \to M$ 上作用为时空对称性。
• 建立一种局部化机制，将 $M$ 上的表示约化为 1 维 $P$-不变子流形 $S \subseteq M$ 上的表示。
• 当 $M$ 为紧致时，以仿射 Kac–Moody 代数的最低权表示为框架，提供此类表示的完全分类。
• 为第二部分奠定基础，后者将分析扩展至全局规范变换及其在共形无穷远处的局部化。

提出的方法

• 分析半直积群 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi)) \rtimes P$ 的投影酉表示，其中 $P$ 是具有类时生成元锥 $\mathscr{C} \subseteq \mathfrak{p}$ 的时空对称性群。
• 通过要求每个 $p_0 \in \mathscr{C}$ 对应的哈密顿量 $H(p_0)$ 的谱有下界，应用正能概念。
• 利用李代数技巧，将问题约化为局部规范代数及其中心扩张的研究，特别关注扭循环代数。
• 采用索博列夫–李代数结构与连续延拓定理，将表示从光滑空间延拓至索博列夫空间。
• 在李代数层面应用局部化定理，表明 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ 的正能表示可分解为在 1 维 $P$-轨道上的表示。
• 利用 $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 中 1 参数子群的遍历性性质，证明真空态向量在全群作用下不变，从而实现分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ 的投影正能表示可局部化至 1 维 $P$-不变子流形？
• RQ2 当基流形 $M$ 为紧致时，如何对规范群的正能表示进行分类？
• RQ3 中心扩张与索博列夫空间在正能表示的连续延拓中起何作用？
• RQ4 类时生成元锥无不动点如何影响正能表示的结构？
• RQ5 真空表示与 $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 中 1 参数子群的遍历性之间存在何种关系？

主要发现

• 局部化定理表明，$\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ 的每个投影正能表示均源自 $M$ 中的 1 维 $P$-不变子流形 $S \subseteq M$。
• 当 $M$ 为紧致时，投影正能表示的分类是完全的，且等价于仿射 Kac–Moody 代数的最低权表示。
• 表示可连续延拓至索博列夫空间，确保其光滑性并兼容盒流形结构。
• 若真空态向量 $\Omega$ 在任意 1 参数子群 $\widetilde{x}(t)$ 或 $\widetilde{h}(t)$ 作用下不变，则其在全群 $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 作用下不变，表明其具有完全不变性。
• 连续延拓定理表明，表示映射 $\varphi = \Phi_3 \circ \Phi_2 \circ \Phi_1$ 的光滑性由 $\Phi_1$ 的光滑性、$\Phi_2$ 的连续性及 $\Phi_3$ 的全纯性所保证。
• 在非紧致 $M$ 情况下，分类结果在对基态空间施加附加限制后获得，表明其结构相比紧致情形更为受限。